(43) Vérifier que $$ 5^{3} \equiv 1 $$ [31]. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $$ 7 imes 5^{15}-6 $$ par 31 ?

Question

(43) Vérifier que $$ 5^{3} \equiv 1 $$ [31]. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $$ 7 	imes 5^{15}-6 $$ par 31 ?

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**1. Vérification de $$ 5^{3} \equiv 1 \mod{31} $$**

Calculons $$ 5^{3} $$ modulo 31 :

$$
5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125
$$

Divisons 125 par 31 :

$$
125 \div 31 = 4 \text{ avec un reste de } 1 \quad \text{(puisque } 31 \times 4 = 124 \text{ et } 125 - 124 = 1\text{)}
$$

Ainsi,

$$
125 \equiv 1 \mod{31}
$$

Donc,

$$
5^{3} \equiv 1 \mod{31}
$$

**2. Calcul du reste de la division de $$ 7 \times 5^{15} - 6 $$ par 31**

Nous devons trouver $$ 7 \times 5^{15} - 6 \mod{31} $$.

D'abord, observons que $$ 5^{3} \equiv 1 \mod{31} $$. Cela implique que les puissances de 5 se répètent tous les 3 exposants modulo 31.

Calculons $$ 5^{15} \mod{31} $$ :

$$
15 \div 3 = 5 \text{ avec un reste de } 0
$$

Ainsi,

$$
5^{15} = (5^{3})^{5} \equiv 1^{5} = 1 \mod{31}
$$

Maintenant, calculons $$ 7 \times 5^{15} - 6 \mod{31} $$ :

$$
7 \times 5^{15} - 6 \equiv 7 \times 1 - 6 = 7 - 6 = 1 \mod{31}
$$

**Conclusion :** Le reste de la division euclidienne de $$ 7 \times 5^{15} - 6 $$ par 31 est **1**.
Le reste de la division de $$ 7 \times 5^{15} - 6 $$ par 31 est **1**.

(43) Vérifier que \( 5^{3} \equiv 1 \) [31]. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de \( 7 \times 5^{15}-6 \) par 31 ?

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