\( =2 \sqrt{x} \) on \( [0, b] \)

الدالة المعطاة هي: \[ f(x) = 2 \sqrt{x} \quad \text{على الفترة} \quad [0, b] \] **شرح الدالة:** 1. **التعريف والنطاق:** - **الدالة:** \( f(x) = 2 \sqrt{x} \) - **نطاق الدالة (Domain):** جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة، أي \( x \geq 0 \). - **مجال الدالة (Range):** بسبب عامل الضرب بـ 2، فإن قيم الدالة تبدأ من 0 وتزداد بلا حد أعلى، أي \( f(x) \geq 0 \). 2. **مخطط الدالة:** - الدالة \( f(x) = 2 \sqrt{x} \) هي دالة جذر تربيعي تتزايد بزيادة \( x \). - الشكل البياني للدالة هو منحنى شبه قطع المكافئ الذي يبدأ من النقطة (0, 0) ويتجه للأعلى يمينًا. - على الفترة \( [0, b] \)، يكون المنحنى محدودًا بين \( x = 0 \) و \( x = b \). 3. **خواص الدالة:** - **التزايد:** الدالة متزايدة على الفترة \( [0, \infty) \)، أي كلما زادت قيمة \( x \)، زادت قيمة \( f(x) \). - **التفاضل:** مشتقة الدالة هي: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 \sqrt{x} \right) = \frac{2}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] هذه المشتقة تشير إلى أن معدل التغير ينخفض بزيادة \( x \). 4. **التكامل:** - إذا كنا نريد حساب المساحة تحت المنحنى على الفترة \( [0, b] \)، يمكننا حساب التكامل التالي: \[ \int_{0}^{b} 2 \sqrt{x} \, dx = \left. \frac{4}{3} x^{3/2} \right|_{0}^{b} = \frac{4}{3} b^{3/2} \] - هذه النتائج تمثل المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور \( x \) على الفترة المحددة. 5. **تطبيقات محتملة:** - يمكن استخدام هذه الدالة في نمذجة الظواهر التي تزيد ببطء مع زيادة المتغير المستقل، مثل بعض العمليات الفيزيائية أو الاقتصاديات التي تعتمد على الجذور التربيعية. **خاتمة:** الدالة \( f(x) = 2 \sqrt{x} \) على الفترة \( [0, b] \) هي دالة بسيطة لكنها تحمل العديد من الخواص الرياضية الهامة. فهم هذه الدالة يمكن أن يكون أساسياً في العديد من التطبيقات الرياضية والعملية.