Determine si las siguientes sucesiones son monótonas. Explique el procedimiento a) \( \left\{\frac{1-2 n}{n^{2}}\right\} \)

Para determinar si la sucesión \( \left\{\frac{1 - 2n}{n^2}\right\} \) es monótona, debemos analizar el comportamiento de los términos conforme \( n \) aumenta. Primero, simplificamos la sucesión: \[ a_n = \frac{1 - 2n}{n^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n}. \] Ahora, observemos el signo de \( a_{n+1} - a_n \): \[ a_{n+1} = \frac{1 - 2(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{1 - 2n - 2}{(n+1)^2} = \frac{-2n - 1}{(n+1)^2}. \] Al calcular \( a_{n+1} - a_n \): \[ a_{n+1} - a_n = \frac{-2n - 1}{(n+1)^2} - \left(\frac{1 - 2n}{n^2}\right). \] Naturalmente, al analizar este resultado al aumentar \( n \), notamos que el primer término será negativo y también el segundo, indicativo de que la sucesión decrece en valores absolutos. Entonces, la sucesión no es monótona creciente porque siempre disminuye. En resumen, \( a_n \) es monótona decreciente para \( n \geq 1 \), ya que con cada incremento en \( n \), los términos son cada vez más negativos.