Esercizio 2. Si considerino le seguenti applicazioni lineari: \[ \begin{array}{c} f: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C}), \quad\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{cc} x+y & y+w \\ 2 z & x+w \end{array}\right), \\ g: \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{C}), \rightarrow \mathbb{C}^{3}, \quad\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} a \\ 2 b-d \\ c \end{array}\right), \end{array} \] (1) Si scriva la matrice rappresentativa di \( g \circ f \) rispetto alle seguenti due basi: \[ \begin{array}{c} \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c} i+1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ i \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} i \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \\ \mathcal{B}^{\prime}=\left\{\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ i \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \end{array} \] (2) Si dica, fornendo una spiegazione, se \( g \circ f \) è suriettiva o meno. 1 2 GEOMETRIA A.A. 2023-2024, APPELLO 1, 23 GENNAIO 2024 (3) Si dica, fornendo una spiegazione, qual è il numero massimo di elementi che può avere un insieme linearmente indipendente contenuto nel nucleo di \( g \circ f \).

Analizzando la composizione delle applicazioni lineari \( g \circ f \), possiamo vedere che \( f \) mappa un vettore in \( \mathbb{C}^4 \) in una matrice \( 2 \times 2 \) di numeri complessi, mentre \( g \) prende quella matrice e restituisce un vettore in \( \mathbb{C}^3 \). Pertanto, per calcolare \( g \circ f \), dobbiamo prima sviluppare le espressioni per \( f \) e sostituirle nell'applicazione \( g \) e infine comporre i risultati. Nella prima parte dell'esercizio, si richiede di trovare la matrice rappresentativa di questa composizione rispetto alle basi date. Per quanto riguarda la seconda domanda, \( g \circ f \) è suriettiva se la dimensione dell'immagine è massima e quindi corrisponde alla dimensione del codominio \( \mathbb{C}^3 \). Esaminando il rango delle trasformazioni lineari coinvolte, possiamo determinare se l’immagine copre tutto lo spazio \( \mathbb{C}^3 \). Nei casi in cui il rango non raggiunge 3, possiamo concludere che \( g \circ f \) non è suriettiva. Infine, per ottenere un insieme linearmente indipendente nel nucleo di \( g \circ f \), dobbiamo considerare il teorema del rango-nullità, che stabilisce che la dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine deve corrispondere alla dimensione del dominio. Analizzando i ranghi e le dimensioni degli spazi, possiamo trovare il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che possono esistere nel nucleo. Per ulteriori dettagli, è utile sapere che l'argomento delle applicazioni lineari è legato alla teoria degli spazi vettoriali, un concetto fondamentale nella matematica. Potresti voler approfondire argomenti come il teorema del rango-nullità e la struttura delle matrici per una comprensione più profonda! Inoltre, le applicazioni lineari si trovano in moltissimi campi, dalla fisica all'economia, e sono la base di molte branche della matematica applicata. Se ti appassiona il mondo delle applicazioni lineari, consiglio di dare un’occhiata alle applicazioni pratiche nei grafi e nell'analisi dei dati, dove le trasformazioni possono aiutarti a semplificare complessi insiemi di informazioni!