Determinati volumul conului, dacă aria laterală este egală cu bazei un unghi de $$ 3 \pi \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения задачи о нахождении объема конуса, когда площадь его боковой поверхности равна площади основания, начнем с извлечения известных условий.

1. Обозначим:
   - $$ A_l $$ — площадь боковой поверхности конуса.
   - $$ A_b $$ — площадь основания конуса.
   - $$ r $$ — радиус основания конуса.
   - $$ h $$ — высота конуса.
   - $$ l $$ — образующая конуса (длина от вершины до края основания).

2. Из условия задачи известно, что:
   $$
   A_l = A_b = 3 \pi \sqrt{3} \, \text{cm}^2
   $$

3. Формулы для площадей:
   - Площадь основания конуса:
     $$
     A_b = \pi r^2
     $$
   - Площадь боковой поверхности конуса:
     $$
     A_l = \pi r l
     $$

4. Установим равенство площадей:
   $$
   \pi r^2 = 3 \pi \sqrt{3}
   $$
   Упрощая, получаем:
   $$
   r^2 = 3 \sqrt{3}
   $$
   Следовательно:
   $$
   r = \sqrt{3 \sqrt{3}} = 3^{1/4} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/4}
   $$

5. Теперь найдем $$ l $$ из второго равенства:
   $$
   \pi r l = 3 \pi \sqrt{3}
   $$
   Упрощая, получаем:
   $$
   r l = 3 \sqrt{3}
   $$
   Подставим значение $$ r $$:
   $$
   3^{3/4} l = 3 \sqrt{3}
   $$
   Разделим обе стороны на $$ 3^{3/4} $$:
   $$
   l = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3/4}} = 3^{1/4} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/4}
   $$

6. Теперь найдем высоту $$ h $$ конуса, используя теорему Пифагора:
   $$
   l^2 = r^2 + h^2
   $$
   Подставим известные значения:
   $$
   (3^{3/4})^2 = (3 \sqrt{3}) + h^2
   $$
   Это дает:
   $$
   3^{3/2} = 3 \sqrt{3} + h^2
   $$
   Упрощая, получаем:
   $$
   h^2 = 3^{3/2} - 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 0
   $$
   Таким образом, $$ h = 0 $$.

7. Объем конуса вычисляется по формуле:
   $$
   V = \frac{1}{3} A_b h
   $$
   Подставим значения:
   $$
   V = \frac{1}{3} (3 \pi \sqrt{3}) (0) = 0
   $$

Таким образом, объем конуса равен $$ 0 \, \text{cm}^3 $$.
Объем конуса равен 0 см³.

Determinati volumul conului, dacă aria laterală este egală cu bazei un unghi de .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions