1. Resoudre dans l'ensemble \( \mathbb{C} \) des nombres complexes, l'équation \( z^{2}-2(2-i) z+7-4 i=0 \) 2. Soit \( P(z)=z^{3}-(2-3 i) z^{2}-(3+4 i) z+18-i \) oi \( z \in \mathbb{C} \) a. Calculer \( P(-2-i) \) puis déterminer les nombres complex a et b tels que \( P(z)=(z+2+i)\left(z^{2}+a z+b\right) \) b. Resoudre dans \( \mathbb{C} \). l'équation \( P(z)=0 \)

Pour résoudre l'équation \( z^{2}-2(2-i) z+7-4 i=0 \), nous pouvons appliquer la formule quadratique. Soit \( a=1 \), \( b=-2(2-i) \), et \( c=7-4i \). En utilisant la formule \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), nous trouvons que \( b^2 = (-2(2-i))^2 = 4(2-i)^2 = 4(4 - 4i + i^2) = 4(3 - 4i) = 12 - 16i \). Calculons \( 4ac \) pour continuer. Pour \( P(-2-i) \), remplaçons \( z \) par \( -2-i \) dans \( P(z) \). En effectuant les substitutions, nous calculons chaque terme et simplifions le polynôme. Après cela, pour factoriser \( P(z) \), nous cherchons \( a \) et \( b \) en utilisant les coefficients du polynôme résultant de la multiplication de \( (z+2+i) \) par \( (z^{2}+az+b) \) pour égaler \( P(z) \). Ensuite, nous utiliserons \( P(z)=0 \) pour résoudre les racines, avec l'une déjà trouvée, et en utilisant la formule quadratique pour le polynôme de degré 2 restant.