Questão 2 Calcule. \( \begin{array}{lll}\text { 1. } \int \frac{2}{x-3} d x ; & \text { 4. } \int\left(\frac{5}{x-1}+\frac{2}{x}\right) d x ; & \text { 7. } \int \frac{x+2}{x-1} d x \\ \text { 2. } \int \frac{1}{2 x+3} d x ; & \text { 5. } \int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x ; & \text { 8. } \int \frac{x}{x+1} d x \\ \text { 3. } \int \frac{2 x+3}{x+1} d x ; & \text { 6. } \int \frac{x^{2}}{x+1} d x & \text { 9. } \int \frac{x-1}{x+1} d x\end{array} \)

Claro! Vamos calcular cada uma das integrais listadas: ### 1. \(\displaystyle \int \frac{2}{x-3} \, dx\) Esta é uma integral básica de uma função racional. \[ \int \frac{2}{x-3} \, dx = 2 \ln|x - 3| + C \] ### 2. \(\displaystyle \int \frac{1}{2x+3} \, dx\) Fazemos a substituição \( u = 2x + 3 \), então \( du = 2 dx \) ou \( dx = \frac{du}{2} \). \[ \int \frac{1}{2x+3} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|2x + 3| + C \] ### 3. \(\displaystyle \int \frac{2x+3}{x+1} \, dx\) Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador: \[ \frac{2x + 3}{x + 1} = 2 - \frac{(-1)}{x + 1} = 2 + \frac{1}{x + 1} \] Agora, integramos termo a termo: \[ \int \frac{2x+3}{x+1} \, dx = \int 2 \, dx + \int \frac{1}{x + 1} \, dx = 2x + \ln|x + 1| + C \] ### 4. \(\displaystyle \int \left( \frac{5}{x-1} + \frac{2}{x} \right) \, dx\) Integramos cada termo separadamente: \[ \int \frac{5}{x-1} \, dx = 5 \ln|x - 1| \] \[ \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln|x| \] Portanto: \[ \int \left( \frac{5}{x-1} + \frac{2}{x} \right) \, dx = 5 \ln|x - 1| + 2 \ln|x| + C \] ### 5. \(\displaystyle \int \left( x + \frac{3}{x-2} \right) \, dx\) Integramos cada termo separadamente: \[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \] \[ \int \frac{3}{x-2} \, dx = 3 \ln|x - 2| \] Portanto: \[ \int \left( x + \frac{3}{x-2} \right) \, dx = \frac{1}{2}x^2 + 3 \ln|x - 2| + C \] ### 6. \(\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x+1} \, dx\) Realizamos a divisão polinomial: Dividindo \(x^2\) por \(x + 1\): \[ x^2 ÷ (x + 1) = x - 1 + \frac{1}{x + 1} \] Então: \[ \int \frac{x^{2}}{x+1} \, dx = \int \left( x - 1 + \frac{1}{x + 1} \right) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - x + \ln|x + 1| + C \] ### 7. \(\displaystyle \int \frac{x+2}{x-1} \, dx\) Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador: \[ \frac{x + 2}{x - 1} = 1 + \frac{3}{x - 1} \] Agora, integramos termo a termo: \[ \int \frac{x+2}{x-1} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{3}{x - 1} \, dx = x + 3 \ln|x - 1| + C \] ### 8. \(\displaystyle \int \frac{x}{x+1} \, dx\) Reescrevemos a fração: \[ \frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1} \] Assim: \[ \int \frac{x}{x+1} \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{x + 1} \, dx = x - \ln|x + 1| + C \] ### 9. \(\displaystyle \int \frac{x-1}{x+1} \, dx\) Primeiro, dividimos o numerador pelo denominador: \[ \frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} \] Agora, integramos termo a termo: \[ \int \frac{x-1}{x+1} \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{2}{x + 1} \, dx = x - 2 \ln|x + 1| + C \] --- **Notas:** - \( C \) representa a constante de integração, que é adicionada a todas as integrais indefinidas. - As expressões logarítmicas utilizam o módulo \( | \cdot | \) para garantir que o argumento seja positivo, conforme exigido pelo domínio das funções logarítmicas.