\( \sin x - \cos x = 1 \quad | \cdot \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \)

Решим уравнение: \[ \sin x - \cos x = 1 \] Для упрощения воспользуемся умножением обеих частей уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ \left( \sin x - \cos x \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Левая часть преобразуется с использованием формулы преобразования разности синуса и косинуса: \[ \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Теперь найдём решения этого уравнения. Мы знаем, что \(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения: \[ \theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Подставляя \(\theta = x - \frac{\pi}{4}\), получаем: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \] \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi n \] Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]