استخدم طريقة الأقراص لحساب الحجم الكلي لجسم يتكون من دوران المنطقة المحددة بين الخطين $$ y = x^3 $$ و $$ y = 8 $$ حول المحور السيني.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

لحساب الحجم الكلي للجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنيين $$ y = x^3 $$ و $$ y = 8 $$ حول المحور السيني باستخدام طريقة الأقراص، نتبع الخطوات التالية:

1. **تحديد نقاط التقاطع:**
   
   نوجد نقاط التقاطع بين المنحنيين $$ y = x^3 $$ و $$ y = 8 $$:

$$
   x^3 = 8 \implies x = 2
   $$

إذًا، حدود التكامل تكون من $$ x = 0 $$ إلى $$ x = 2 $$.

2. **تحديد نصف القطر الخارجي والداخلي:**
   
   عند أي قيمة لـ $$ x $$ في الفترة [0، 2]:
   
   - **نصف القطر الخارجي**، $$ R(x) $$ هو المسافة من المحور السيني إلى الخط العلوي $$ y = 8 $$:
     
     $$
     R(x) = 8
     $$
   
   - **نصف القطر الداخلي**، $$ r(x) $$ هو المسافة من المحور السيني إلى الخط السفلي $$ y = x^3 $$:
     
     $$
     r(x) = x^3
     $$

3. **صيغة حجم الجسم باستخدام طريقة الأقراص:**
   
   حجم الجسم $$ V $$ يُعطى بالتكامل التالي:
   
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} \left[ (R(x))^2 - (r(x))^2 \right] dx
   $$
   
   بتعويض $$ R(x) $$ و $$ r(x) $$:
   
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} \left[ 8^2 - (x^3)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{2} \left[ 64 - x^6 \right] dx
   $$

4. **حساب التكامل:**
   
   نحسب التكامل:
   
   $$
   V = \pi \left[ \int_{0}^{2} 64 \, dx - \int_{0}^{2} x^6 \, dx \right] = \pi \left[ 64x - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2}
   $$
   
   نطبق حدود التكامل:
   
   $$
   V = \pi \left[ 64 \times 2 - \frac{2^7}{7} \right] = \pi \left[ 128 - \frac{128}{7} \right] = \pi \left( \frac{896}{7} - \frac{128}{7} \right) = \pi \left( \frac{768}{7} \right)
   $$
   
   إذًا:
   
   $$
   V = \frac{768}{7} \pi \، \text{وحدات مكعبة}
   $$

**إجابة نهائية:**

الحجم الكلي للجسم هو $$ \frac{768}{7} \pi $$ وحدة مكعبة.
حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة بين $$ y = x^3 $$ و $$ y = 8 $$ حول المحور السيني هو $$ \frac{768}{7} \pi $$ وحدات مكعبة.

استخدم طريقة الأقراص لحساب الحجم الكلي لجسم يتكون من دوران المنطقة المحددة بين الخطين \( y = x^3 \) و \( y = 8 \) حول المحور السيني.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Calculus Questions