\( \left. \begin{array} { l l } { f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x } - 9 } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt[ 3 ] { x - 9 } } \\ { f ^ { - 1 } ( x ) = ( x + 9 ) ^ { 3 } } & { \bigcirc f ^ { - 1 } ( x ) = x ^ { 3 } - 9 } \end{array} \right. \)

Para determinar cuál de las expresiones dadas es la función inversa correcta de \( f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \), analicemos cada una de las opciones proporcionadas: 1. **\( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \)** Esta expresión no es la función inversa, sino que en realidad es la función original \( f(x) \). 2. **\( \circ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} \)** Esta expresión indica que primero se resta 9 al valor de \( x \) y luego se aplica la raíz cúbica. Veamos si esto es correcto: Si \( y = f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} \), entonces para encontrar la función inversa: \[ y^3 = x - 9 \implies x = y^3 + 9 \] Por lo tanto, la función inversa correcta debería ser \( f^{-1}(x) = x^3 + 9 \), no \( \sqrt[3]{x - 9} \). 3. **\( f^{-1}(x) = (x + 9)^3 \)** Esta expresión es la función inversa correcta. Verifiquemos: Dada \( y = f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \), para encontrar \( f^{-1}(x) \): \[ y + 9 = \sqrt[3]{x} \implies (y + 9)^3 = x \] Por lo tanto, \( f^{-1}(x) = (x + 9)^3 \) es la función inversa correcta. 4. **\( \circ f^{-1}(x) = x^3 - 9 \)** Esta expresión también representa una posible función inversa. Verifiquemos: Si \( y = f^{-1}(x) = x^3 - 9 \), entonces: \[ y + 9 = x^3 \implies x = \sqrt[3]{y + 9} \] Comparando con la función original \( f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \), vemos que esta expresión también es válida como función inversa. **Conclusión:** Las funciones inversas correctas de \( f(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \) son: - \( f^{-1}(x) = (x + 9)^3 \) - \( f^{-1}(x) = x^3 - 9 \) Las expresiones \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} - 9 \) y \( \circ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 9} \) **no** son funciones inversas correctas de \( f(x) \).