Q 1: La suite $$ \left(v_{n}\right) $$ définie sur $$ \mathbb{N} $$ par $$ v_{n}=5 n^{3}-2 n^{2}+4 $$ $$ \square $$ diverge vers $$ -\infty $$ $$ \square $$ converge vers 0 - converge vers 1 diverge vers $$ +\infty $$ Q2 : La proposition exacte est : $$ \square $$ « Toute suite décroissante tend vers $$ -\infty » $$ $$ \square $$ « Toute suite non monotone diverge $$ $$ - « Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge - « Toute suite croissante est minorée » Q 3 : Pour tout entier naturel $$ n, \quad u_{n}=\frac{3 n-n^{2}}{(n+1)^{2}} $$ $$ \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \quad \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-1 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty $$ Q4: La suite $$ \left(q^{n}\right) $$ n'a pas de limite dans le cas où $$ q $$ est un réel tel que : $$ \square-1

Question

Q 1: La suite $$ \left(v_{n}\right) $$ définie sur $$ \mathbb{N} $$ par $$ v_{n}=5 n^{3}-2 n^{2}+4 $$ $$ \square $$ diverge vers $$ -\infty $$ $$ \square $$ converge vers 0 - converge vers 1 diverge vers $$ +\infty $$ Q2 : La proposition exacte est : $$ \square $$ « Toute suite décroissante tend vers $$ -\infty » $$ $$ \square $$ « Toute suite non monotone diverge $$ > $$ - « Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge - « Toute suite croissante est minorée » Q 3 : Pour tout entier naturel $$ n, \quad u_{n}=\frac{3 n-n^{2}}{(n+1)^{2}} $$ $$ \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty \quad \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=3 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-1 \quad \square \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=-\infty $$ Q4: La suite $$ \left(q^{n}\right) $$ n'a pas de limite dans le cas où $$ q $$ est un réel tel que : $$ \square-1

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Bien sûr, passons en revue chaque question une par une et identifions les réponses correctes.

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### **Q1:**  
La suite $$ v_n = 5n^3 - 2n^2 + 4 $$.

**Analyse:**  
Le terme dominant est $$ 5n^3 $$ qui tend vers $$ +\infty $$ lorsque $$ n $$ tend vers $$ +\infty $$.

**Réponse correcte:**  
- **Diverge vers $$ +\infty $$**

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### **Q2:**  
**La proposition exacte est :**

1. « Toute suite décroissante tend vers $$ -\infty $$ »
2. « Toute suite non monotone diverge »
3. « Toute suite géométrique de raison strictement négative diverge »
4. « Toute suite croissante est minorée »

**Analyse des propositions :**

1. **Faux.** Une suite décroissante peut converger vers une limite finie. Par exemple, $$ u_n = 1 - \frac{1}{n} $$ est décroissante et converge vers 1.
2. **Faux.** Une suite non monotone peut converger. Par exemple, $$ u_n = \frac{(-1)^n}{n} $$ converge vers 0.
3. **Faux.** Une suite géométrique de raison strictement négative ne diverge pas nécessairement. Par exemple, $$ u_n = (-\frac{1}{2})^n $$ converge vers 0.
4. **Vrai.** Une suite croissante est automatiquement minorée par son premier terme.

**Réponse correcte:**  
- **« Toute suite croissante est minorée »**

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### **Q3:**  
Pour tout entier naturel $$ n $$, $$ u_n = \frac{3n - n^2}{(n+1)^2} $$.

**Calcul de la limite :**

$$
\lim_{n \to +\infty} \frac{3n - n^2}{(n+1)^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{-n^2 + 3n}{n^2 + 2n + 1} = \frac{-1}{1} = -1
$$

**Réponse correcte:**  
- **$$\lim_{n \to +\infty} u_n = -1$$**

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### **Q4:**  
La suite $$ (q^n) $$ n'a pas de limite dans le cas où $$ q $$ est un réel tel que :

**Options analysées :**

- Pour $$ |q| < 1 $$, la suite converge vers 0.
- Pour $$ |q| = 1 $$:
  - Si $$ q = 1 $$, la suite converge vers 1.
  - Si $$ q = -1 $$, la suite oscille entre 1 et -1.
- Pour $$ |q| > 1 $$, la suite diverge vers $$ \pm\infty $$ selon le signe de $$ q $$.

**Réponse correcte:**  
- **$$ q \leq -1 $$**

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### **Q5:**  
Pour tout entier naturel $$ n $$ non nul, $$ w_n = \frac{n}{\sqrt{n}} $$.

**Simplification :**

$$
w_n = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}
$$

**Calcul de la limite :**

$$
\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty
$$

**Réponse correcte:**  
- **$$\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty$$**

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### **Q6:**  
Pour tout entier naturel $$ n $$, $$ u_n = \frac{-3n + 1}{5 + n} $$.

**Calcul de la limite :**

$$
\lim_{n \to +\infty} \frac{-3n + 1}{5 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{-3 + \frac{1}{n}}{\frac{5}{n} + 1} = \frac{-3}{1} = -3
$$

**Réponse correcte:**  
- **$$\lim_{n \to +\infty} u_n = -3$$**

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### **Q7:**  
Pour tout entier naturel $$ n $$, $$ u_n = 2n^2 - n + 1 $$. Trouver $$ u_{n+1} $$.

**Calcul :**

$$
u_{n+1} = 2(n+1)^2 - (n+1) + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) - n - 1 + 1 = 2n^2 + 4n + 2 - n = 2n^2 + 3n + 2
$$

**Réponse correcte:**  
- **$$ u_{n+1} = 2n^2 + 3n + 2 $$**

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**Réponses aux questions :** 1. **Q1:** La suite $$ v_n = 5n^3 - 2n^2 + 4 $$ **diverge vers $$ +\infty $$**. 2. **Q2:** **Toute suite croissante est minorée**. 3. **Q3:** $$ \lim_{n \to +\infty} u_n = -1 $$. 4. **Q4:** La suite $$ (q^n) $$ n'a pas de limite si $$ q \leq -1 $$. 5. **Q5:** $$ \lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty $$. 6. **Q6:** $$ \lim_{n \to +\infty} u_n = -3 $$. 7. **Q7:** $$ u_{n+1} = 2n^2 + 3n + 2 $$.

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