espacio dentro del camión tiene un ancho limitado, lo que obliga a inclinar la caja para que entre de mane
gura. Queremos determinar el ángulo necesario para inclinar la caja con respecto al piso del camión pa
ee pase a través de un espacio de 1,8 metros de ancho.

Question

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1. Planteamos el problema considerando que la caja tiene dos dimensiones relevantes (por ejemplo, su “longitud” y “altura” cuando se la coloca sobre un lado) que, al inclinarla, hacen que su proyección horizontal sea menor. Sea  
   - $$ L $$ la dimensión “horizontal” cuando la caja se coloca de forma normal, y  
   - $$ H $$ la dimensión “vertical” (que pasará a contribuir a la proyección horizontal al inclinarse).

2. Cuando se inclina la caja por un ángulo $$\theta$$ respecto al piso, la proyección horizontal estará compuesta de la contribución de cada lado de la caja:
   - El lado de longitud $$ L $$ contribuirá como $$ L\cos\theta $$.
   - El lado de altura $$ H $$ contribuirá como $$ H\sin\theta $$.

Así, la proyección total es  
   $$
   P(\theta) = L\cos\theta + H\sin\theta.
   $$

3. Para que la caja pase a través de un espacio de $$1.8$$ metros de ancho se debe cumplir que  
   $$
   L\cos\theta + H\sin\theta = 1.8.
   $$

4. Para “despejar” $$\theta$$ se puede proceder de forma analítica mediante la técnica de la “suma de senos y cosenos”. En efecto, se puede escribir $$P(\theta)$$ en forma de una única función coseno:
   
   a) Se define
   $$
   R = \sqrt{L^2+H^2}\quad \text{y} \quad \phi = \arctan\left(\frac{H}{L}\right).
   $$
   
   b) Entonces se tiene la identidad
   $$
   L\cos\theta + H\sin\theta = R\cos(\theta-\phi).
   $$
   
   c) Por ello la condición para el paso es
   $$
   R\cos(\theta-\phi) = 1.8.
   $$

5. De la ecuación anterior se aísla el coseno:
   $$
   \cos(\theta-\phi) = \frac{1.8}{R}.
   $$
   
   Para que exista solución es necesario que $$\frac{1.8}{R} \leq 1$$, es decir, que 
   $$
   R \ge 1.8.
   $$

6. Así, la solución para el ángulo (teniendo en cuenta las restricciones geométricas del problema) es
   $$
   \theta-\phi = \arccos\left(\frac{1.8}{\sqrt{L^2+H^2}}\right),
   $$
   de donde se obtiene
   $$
   \theta = \arctan\left(\frac{H}{L}\right) + \arccos\left(\frac{1.8}{\sqrt{L^2+H^2}}\right).
   $$
   
   (Se elige la suma de ángulos que tenga sentido respecto a la orientación de la caja y las dimensiones del espacio.)

Esta expresión proporciona el ángulo mínimo que se debe inclinar la caja para que su proyección horizontal sea igual a $$1.8$$ metros, permitiendo así que pase a través del espacio limitado.  
 
Nota: Si se conocen valores numéricos específicos para $$L$$ y $$H$$, se puede calcular el valor exacto de $$\theta$$.
Para que la caja pase a través del espacio de 1,8 metros, se debe inclinarla a un ángulo que cumpla la ecuación $$ L\cos\theta + H\sin\theta = 1.8 $$. El ángulo necesario se calcula usando la fórmula: $$ \theta = \arctan\left(\frac{H}{L}\right) + \arccos\left(\frac{1.8}{\sqrt{L^2+H^2}}\right) $$ Este ángulo mínimo asegura que la caja tenga una proyección horizontal de 1,8 metros, permitiéndola pasar por el espacio limitado.

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