ABCD est un rectangle. Soit M un point à l'intérieur du rectangle ABCD . Montrer que : \( \mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MC}^{2}=\mathrm{MB}^{2}+\mathrm{MD}^{2} \) Thé ount de pybhagor

Pour démontrer que \( \mathrm{MA}^{2} + \mathrm{MC}^{2} = \mathrm{MB}^{2} + \mathrm{MD}^{2} \) dans le rectangle \( ABCD \) avec \( M \) un point à l'intérieur, nous allons utiliser les coordonnées des points. Posons les coordonnées des points comme suit : - \( A(0, 0) \) - \( B(a, 0) \) - \( C(a, b) \) - \( D(0, b) \) - \( M(x, y) \) Nous allons maintenant calculer les distances \( MA \), \( MB \), \( MC \) et \( MD \). 1. **Calcul de \( MA \)** : \[ MA = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \] Donc, \( MA^2 = x^2 + y^2 \). 2. **Calcul de \( MB \)** : \[ MB = \sqrt{(x - a)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + y^2} \] Donc, \( MB^2 = (x - a)^2 + y^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 \). 3. **Calcul de \( MC \)** : \[ MC = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \] Donc, \( MC^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 \). 4. **Calcul de \( MD \)** : \[ MD = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - b)^2} = \sqrt{x^2 + (y - b)^2} \] Donc, \( MD^2 = x^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2 \). Maintenant, nous allons additionner \( MA^2 \) et \( MC^2 \), puis \( MB^2 \) et \( MD^2 \). **Addition de \( MA^2 \) et \( MC^2 \)** : \[ MA^2 + MC^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) \] \[ = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 \] **Addition de \( MB^2 \) et \( MD^2 \)** : \[ MB^2 + MD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2) \] \[ = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 \] Nous constatons que : \[ MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2 \] Ainsi, nous avons montré que : \[ \mathrm{MA}^{2} + \mathrm{MC}^{2} = \mathrm{MB}^{2} + \mathrm{MD}^{2} \] Ce qui conclut la démonstration.