b) \( y=\frac{x}{1-x^{2}} \)

b) \( y = \frac{x}{1 - x^{2}} \) **Açıklama:** Bu fonksiyonun tanım kümesini ve davranışını inceleyelim. 1. **Tanım Kümesi:** \[ 1 - x^{2} \neq 0 \implies x^{2} \neq 1 \implies x \neq \pm 1 \] Yani, \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) noktalarında fonksiyon tanımsızdır. Bu noktalar dikey asimptotlar olarak bilinir. 2. **Fonksiyonun Davranışı:** - **Pozitif ve Negatif Değerler:** - \( x \) pozitifken ve \( 1 - x^{2} \) pozitifken, \( y \) pozitiftir. - \( x \) pozitifken ve \( 1 - x^{2} \) negatifken, \( y \) negatiftir. - Benzer şekilde, \( x \) negatifken de aynı kurallar geçerlidir. - **Asimptotlar:** - \( x \to 1^{-} \) veya \( x \to 1^{+} \) iken \( y \) sonsuza yaklaşır. - \( x \to -1^{-} \) veya \( x \to -1^{+} \) iken \( y \) negatif sonsuza yaklaşır. 3. **Grafik Özellikleri:** - Fonksiyon, \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) doğrularına dikey asimptotlara sahiptir. - Orijin (\( x = 0, y = 0 \)) noktasından geçer. - Fonksiyon, parabolik bir şekil gösterir ancak dikey asimptotlar nedeniyle bu parabol bölünmüş olur. 4. **Türevi:** Fonksiyonun türevini alarak artan ve azalan bölgelerini belirleyebiliriz: \[ y = \frac{x}{1 - x^{2}} \implies y' = \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \cdot (-2x)}{(1 - x^{2})^{2}} = \frac{1 - x^{2} + 2x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} \] Türev her zaman pozitif olduğu için fonksiyon, tanım kümesinde artan bir fonksiyondur. **Sonuç:** \( y = \frac{x}{1 - x^{2}} \) fonksiyonu, \( x \neq \pm 1 \) noktalarında tanımlıdır ve bu noktalarda dikey asimptotlara sahiptir. Fonksiyon, tanım kümesinde sürekli olarak artan bir davranış sergiler ve grafiği belirgin asimptotik özellikler gösterir.