Investigue y demuestre los siguientes teoremas de lineas notables del triángulo (realizar el dibujo correspondiente en cada caso): 8. El ángulo formado por dos bisectrices internas de un triángulo es igual a un ángulo recto más la mitad de la medida del ángulo no considerado por las bisectrices.

Para demostrar el teorema que establece que el ángulo formado por dos bisectrices internas de un triángulo es igual a un ángulo recto más la mitad de la medida del ángulo no considerado por las bisectrices, sigamos los siguientes pasos: ### Teorema Sea \( \triangle ABC \) un triángulo con los ángulos \( A \), \( B \) y \( C \). Sean \( D \) y \( E \) los puntos donde las bisectrices internas de los ángulos \( A \) y \( B \) se encuentran en el interior del triángulo. El ángulo formado por las bisectrices \( AD \) y \( BE \) es: \[ \angle ADB = 90^\circ + \frac{C}{2} \] ### Demostración 1. **Dibujo del triángulo**: - Dibuja un triángulo \( ABC \) con los ángulos \( A \), \( B \) y \( C \). - Dibuja las bisectrices internas \( AD \) y \( BE \) que dividen los ángulos \( A \) y \( B \) respectivamente. 2. **Identificación de los ángulos**: - Por definición de bisectriz, tenemos: \[ \angle BAD = \frac{A}{2} \quad \text{y} \quad \angle ABE = \frac{B}{2} \] 3. **Cálculo del ángulo \( \angle ADB \)**: - El ángulo \( \angle ADB \) se puede calcular como: \[ \angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABE \] - Sustituyendo los valores de los ángulos: \[ \angle ADB = 180^\circ - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} \] 4. **Uso de la suma de ángulos en un triángulo**: - Sabemos que en un triángulo, la suma de los ángulos es \( A + B + C = 180^\circ \). - Por lo tanto, podemos expresar \( C \) como: \[ C = 180^\circ - A - B \] - Sustituyendo esto en la expresión de \( \angle ADB \): \[ \angle ADB = 180^\circ - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} = 180^\circ - \frac{(A + B)}{2} = 180^\circ - \frac{(180^\circ - C)}{2} \] - Simplificando: \[ \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{C}{2} = 90^\circ + \frac{C}{2} \] 5. **Conclusión**: - Por lo tanto, hemos demostrado que el ángulo formado por las bisectrices internas de un triángulo es igual a un ángulo recto más la mitad del ángulo no considerado: \[ \angle ADB = 90^\circ + \frac{C}{2} \] ### Dibujo Para ilustrar la demostración, puedes dibujar un triángulo \( ABC \) y marcar los ángulos \( A \), \( B \) y \( C \). Luego, dibuja las bisectrices \( AD \) y \( BE \) y marca el ángulo \( \angle ADB \). Asegúrate de etiquetar los ángulos \( \angle BAD \) y \( \angle ABE \) como \( \frac{A}{2} \) y \( \frac{B}{2} \) respectivamente. Este teorema es una propiedad interesante de las bisectrices en un triángulo y tiene aplicaciones en geometría y en la resolución de problemas relacionados con triángulos.