7. Resuelvo las siguientes ecuaciones de segundo grado, factorizadas y fracciones algobraicas. a) x^{2} - x/2 = 1/3 - 2x/3 b) x^{2}/2-3x/5 = 1/5-x/6 c) 6(x+2)^{2} = 13(x+1)(x+2) d) (2x+1)(x+1) = 5(x+1) e)(4x^{2}-1)(x-5) = 0 f) x/(x+2) = 1/2(x-1)

Vamos a resolver las ecuaciones de segundo grado y las fracciones algebraicas una por una. ### a) \( x^{2}-\frac{x}{2}=\frac{1}{3}-\frac{2 x}{3} \) Primero, simplificamos el lado derecho: \[ \frac{1}{3} - \frac{2x}{3} = \frac{1 - 2x}{3} \] Ahora, igualamos la ecuación: \[ x^{2} - \frac{x}{2} = \frac{1 - 2x}{3} \] Multiplicamos toda la ecuación por 6 para eliminar los denominadores: \[ 6x^{2} - 3x = 2 - 4x \] Reorganizamos la ecuación: \[ 6x^{2} + x - 2 = 0 \] Ahora, resolveremos esta ecuación cuadrática usando factorización. ### b) \( \frac{x^{2}}{2}-\frac{3 x}{5}=\frac{1}{5}-\frac{x}{6} \) Primero, simplificamos el lado derecho: \[ \frac{1}{5} - \frac{x}{6} = \frac{6 - 5x}{30} \] Multiplicamos toda la ecuación por 30 para eliminar los denominadores: \[ 15x^{2} - 18x = 6 - 5x \] Reorganizamos la ecuación: \[ 15x^{2} - 13x - 6 = 0 \] ### c) \( 6(x+2)^{2}=13(x+1)(x+2) \) Expandimos ambos lados: \[ 6(x^{2} + 4x + 4) = 13(x^{2} + 3x + 2) \] Esto se convierte en: \[ 6x^{2} + 24x + 24 = 13x^{2} + 39x + 26 \] Reorganizamos la ecuación: \[ 7x^{2} + 15x + 2 = 0 \] ### d) \( (2x+1)(x+1)=5(x+1) \) Si \( x + 1 \neq 0 \), podemos dividir ambos lados por \( x + 1 \): \[ 2x + 1 = 5 \] Resolviendo: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] Si \( x + 1 = 0 \), entonces \( x = -1 \). ### e) \( (4x^{2}-1)(x-5)=0 \) Esto se resuelve estableciendo cada factor igual a cero: 1. \( 4x^{2} - 1 = 0 \) 2. \( x - 5 = 0 \) Resolviendo \( 4x^{2} - 1 = 0 \): \[ 4x^{2} = 1 \implies x^{2} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{2} \text{ o } x = -\frac{1}{2} \] Por lo tanto, las soluciones son \( x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 5 \). ### f) \( \frac{x}{x+2}=\frac{1}{2(x-1)} \) Multiplicamos en cruz: \[ 2(x-1)x = x + 2 \] Esto se convierte en: \[ 2x^{2} - 2x = x + 2 \] Reorganizamos la ecuación: \[ 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \] Ahora, resolveremos todas las ecuaciones cuadráticas y fracciones algebraicas. Voy a proceder a resolver las ecuaciones cuadráticas y fracciones algebraicas. Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(6x^{2}+x-2=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(2x-1\right)\left(3x+2\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&2x-1=0\\&3x+2=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=\frac{1}{2}\\&x=-\frac{2}{3}\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=\frac{1}{2}\) Solve the equation \( 15x^{2}-13x-6=0 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(15x^{2}-13x-6=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(3x+1\right)\left(5x-6\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&5x-6=0\\&3x+1=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=\frac{6}{5}\\&x=-\frac{1}{3}\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{1}{3},x_{2}=\frac{6}{5}\) Solve the equation \( 2x^{2}-3x-2=0 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(2x^{2}-3x-2=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(x-2\right)\left(2x+1\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x-2=0\\&2x+1=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=2\\&x=-\frac{1}{2}\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=2\) Solve the equation \( 7x^{2}+15x+2=0 \). Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve by factoring: \(7x^{2}+15x+2=0\) - step1: Factor the expression: \(\left(x+2\right)\left(7x+1\right)=0\) - step2: Separate into possible cases: \(\begin{align}&7x+1=0\\&x+2=0\end{align}\) - step3: Solve the equation: \(\begin{align}&x=-\frac{1}{7}\\&x=-2\end{align}\) - step4: Rewrite: \(x_{1}=-2,x_{2}=-\frac{1}{7}\) Aquí están las soluciones para cada una de las ecuaciones: ### a) \( x^{2}-\frac{x}{2}=\frac{1}{3}-\frac{2 x}{3} \) La solución es: \[ x_{1} = -\frac{2}{3}, \quad x_{2} = \frac{1}{2} \] ### b) \( \frac{x^{2}}{2}-\frac{3 x}{5}=\frac{1}{5}-\frac{x}{6} \) La solución es: \[ x_{1} = -\frac{1}{3}, \quad x_{2} = \frac{6}{5} \] ### c) \( 6(x+2)^{2}=13(x+1)(x+2) \) La solución es: \[ x_{1} = -2, \quad x_{2} = -\frac{1}{7} \] ### d) \( (2x+1)(x+1)=5(x+1) \) Las soluciones son: \[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = -1 \] ### e) \( (4x^{2}-1)(x-5)=0 \) Las soluciones son: \[ x = -\frac{1}{2}, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 5 \] ### f) \( \frac{x}{x+2}=\frac{1}{2(x-1)} \) La solución es: \[ x_{1} = -\frac{1}{2}, \quad x_{2} = 2 \] Si necesitas más detalles sobre algún paso o alguna otra pregunta, no dudes en decírmelo.