7. Resuelvo las siguientes ecuaciones de segundo grado, factorizadas y fracciones algobraicas. a) x^{2} - x/2 = 1/3 - 2x/3 b) x^{2}/2-3x/5 = 1/5-x/6 c) 6(x+2)^{2} = 13(x+1)(x+2) d) (2x+1)(x+1) = 5(x+1) e)(4x^{2}-1)(x-5) = 0 f) x/(x+2) = 1/2(x-1)

Para la ecuación \(x^{2}-\frac{x}{2}=\frac{1}{3}-\frac{2 x}{3}\), primero simplificamos el lado derecho a: \(-\frac{x}{3} + \frac{1}{3}\). Luego, igualamos a cero: \(x^{2}-\frac{x}{2} + \frac{x}{3} - \frac{1}{3}=0\). Reuniendo términos, obtenemos \(6x^{2}-3x+x-2=0\) o \(6x^2 - 2x - 2=0\). Al factorizar, podemos describir sus raíces. Para la ecuación \(6(x+2)^{2}=13(x+1)(x+2)\), expandimos ambos lados para obtener una ecuación cuadrática. Tras simplificar y reordenar, podemos factorizar o usar la fórmula cuadrática para hallar las soluciones. ¡Recuerda que a veces, descomponer pasos lo hace más entretenido! Ahora, para la ecuación \(\left(4 x^{2}-1\right)(x-5)=0\), tenemos dos factores. El primero, \(4x^2 - 1\) se puede factorizar como \((2x-1)(2x+1)=0\). Esto nos da dos soluciones: \(x=\frac{1}{2}\) y \(x=-\frac{1}{2}\). El segundo factor nos da otra solución, que sería \(x=5\). ¡Tres respuestas para esta ecuación! Finalmente, al lidiar con \(\frac{x}{x+2}=\frac{1}{2(x-1)}\), multiplicamos en cruz: \(x(2x-2)=x+2\). Después, simplificamos y resolvemos esta ecuación cuadrática, lo que también puede llevarnos a realizar factorizaciones. ¡Asegúrate de revisar tus pasos para no perderte!