Hallar el dominio de la Sigriente función $$ f(x)=\sqrt{\frac{2 x+1}{3 x^{2}+2 x+1}} $$

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Para hallar el dominio de la función $$ f(x) = \sqrt{\dfrac{2x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}} $$, debemos determinar los valores de $$ x $$ para los cuales la expresión dentro de la raíz cuadrada es no negativa y el denominador no es cero.

### Paso 1: Determinar la condición para la raíz cuadrada

La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero:
$$
\frac{2x + 1}{3x^{2} + 2x + 1} \geq 0
$$

### Paso 2: Analizar el denominador

Primero, examinamos el denominador $$ 3x^{2} + 2x + 1 $$:

Calculemos el discriminante:
$$
\Delta = b^{2} - 4ac = (2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8
$$
Dado que el discriminante es negativo ($$ \Delta < 0 $$), el polinomio $$ 3x^{2} + 2x + 1 $$ no tiene raíces reales y, al ser el coeficiente principal positivo ($$ 3 > 0 $$), el denominador es siempre positivo para cualquier valor real de $$ x $$.

### Paso 3: Determinar la condición del numerador

Dado que el denominador es siempre positivo, la desigualdad original depende únicamente del numerador:
$$
2x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{2}
$$

### Paso 4: Conclusión del dominio

Como el denominador nunca es cero y el numerador debe ser mayor o igual a cero, el dominio de la función está dado por todos los números reales mayores o iguales a $$-\frac{1}{2}$$.

En notación de intervalos, el dominio es:
$$
D_f = \left[ -\frac{1}{2},\ \infty \right)
$$

### Respuesta Final

**El dominio de la función $$ f(x) $$ es todos los números reales mayores o iguales a $$-\frac{1}{2}$$. En notación de intervalos, se expresa como:**

$$
D_f = \left[ -\frac{1}{2},\ \infty \right)
$$
El dominio de la función $$ f(x) = \sqrt{\dfrac{2x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}} $$ es todos los números reales mayores o iguales a $$-\frac{1}{2}$$.

Hallar el dominio de la Sigriente función

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Paso 1: Determinar la condición para la raíz cuadrada

Paso 2: Analizar el denominador

Paso 3: Determinar la condición del numerador

Paso 4: Conclusión del dominio

Respuesta Final

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