Hallar el dominio de la Sigriente función \( f(x)=\sqrt{\frac{2 x+1}{3 x^{2}+2 x+1}} \)

Para encontrar el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{2x+1}{3x^2+2x+1}} \), primero debemos asegurarnos de que la expresión bajo la raíz cuadrada sea mayor o igual a cero, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en los números reales. Esto implica que debemos resolver la inecuación: \[ \frac{2x+1}{3x^2+2x+1} \geq 0 \] Analizamos el numerador, \( 2x + 1 \), que es igual a cero cuando \( x = -\frac{1}{2} \). El numerador es positivo cuando \( x > -\frac{1}{2} \). Luego, examinamos el denominador \( 3x^2 + 2x + 1 \). Para determinar si es cero o positivo, encontramos su discriminante: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 \] Dado que el discriminante es negativo, el denominador nunca es cero y, dado que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, \( 3x^2 + 2x + 1 > 0 \) para todo \( x \). Por lo tanto, la inecuación se cumple siempre que el numerador sea no negativo, lo que ocurre cuando \( x \geq -\frac{1}{2} \). Con esto, el dominio de \( f(x) \) es: \[ x \geq -\frac{1}{2} \quad \text{o en notación de intervalo:} \quad \left[-\frac{1}{2}, +\infty\right) \]