Si en un triángulo rectángulo el lado adyacente a un ángulo B mide 8 cm y el seno de B es \( \frac{3}{5} \), encuentra la longitud de la hipotenusa.

Para resolver el problema, sigamos los siguientes pasos: **Datos proporcionados:** - En un triángulo rectángulo, el lado adyacente al ángulo \( B \) mide 8 cm. - El seno del ángulo \( B \) es \( \frac{3}{5} \). **Objetivo:** Encontrar la longitud de la hipotenusa (\( h \)) del triángulo. **Pasos de la solución:** 1. **Relación entre seno y lados del triángulo:** En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo se define como: \[ \sin(B) = \frac{\text{lado opuesto}}{\text{hipotenusa}} \] Dado que \( \sin(B) = \frac{3}{5} \), podemos expresar el lado opuesto en función de la hipotenusa: \[ \text{lado opuesto} = \frac{3}{5} \times h \] 2. **Relación entre coseno y lados del triángulo:** El coseno del mismo ángulo \( B \) es: \[ \cos(B) = \frac{\text{lado adyacente}}{\text{hipotenusa}} \] Dado que el lado adyacente mide 8 cm: \[ \cos(B) = \frac{8}{h} \] 3. **Uso de la identidad trigonométrica fundamental:** Sabemos que: \[ \sin^2(B) + \cos^2(B) = 1 \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{h}\right)^2 = 1 \] Calculando los cuadrados: \[ \frac{9}{25} + \frac{64}{h^2} = 1 \] 4. **Resolviendo para \( h \):** Aislamos \( \frac{64}{h^2} \): \[ \frac{64}{h^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] De aquí: \[ h^2 = \frac{64 \times 25}{16} = 100 \] Tomando la raíz cuadrada de ambos lados: \[ h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] **Conclusión:** La longitud de la hipotenusa del triángulo es **10 cm**.