Soit $$ f $$ la fonction numérique définie sur l'intervalle par $$ I=\left[0 ;+\infty\left[: f(x)=\ln \left(x+1+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)\right.\right. $$ et soit $$ C_{f} $$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $$ (O ; \vec{i} ; \vec{j}) $$. 1) Calculer $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$. 2) Montrer que $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0 $$. Que peut-on déduire? 3) Étudier la dérivabilité de la fonction $$ f $$ à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu. (On pourra poser : $$ t=x+\sqrt{x^{2}+2 x} $$ ).

Question

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Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1) Calculer $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$

La fonction est définie par :

$$
f(x) = \ln \left(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x}\right)
$$

Pour calculer la limite lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$, nous allons simplifier l'expression à l'intérieur du logarithme.

Observons que :

$$
\sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} = x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}
$$

Lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$, $$ \sqrt{1 + \frac{2}{x}} $$ tend vers 1. Donc, nous avons :

$$
\sqrt{x^2 + 2x} \sim x \quad \text{quand } x \to +\infty
$$

Ainsi, l'expression devient :

$$
f(x) \sim \ln \left(x + 1 + x\right) = \ln(2x + 1)
$$

Pour $$ x $$ très grand, $$ 2x + 1 \sim 2x $$, donc :

$$
f(x) \sim \ln(2x) = \ln(2) + \ln(x)
$$

Ainsi, la limite est :

$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
$$

### 2) Montrer que $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0 $$

Nous avons déjà établi que :

$$
f(x) \sim \ln(2) + \ln(x)
$$

Nous allons maintenant examiner la limite :

$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2) + \ln(x)}{x}
$$

En utilisant la propriété que $$ \ln(x) $$ croît moins vite que $$ x $$, nous avons :

$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0
$$

Ainsi, nous pouvons conclure que :

$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0
$$

**Interprétation :** Cela signifie que la fonction $$ f(x) $$ croît moins vite que la fonction linéaire $$ x $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$.

### 3) Étudier la dérivabilité de la fonction $$ f $$ à droite en 0

Pour étudier la dérivabilité de $$ f $$ à droite en 0, nous allons calculer la limite suivante :

$$
f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}
$$

Calculons $$ f(0) $$ :

$$
f(0) = \ln(0 + 1 + \sqrt{0^2 + 2 \cdot 0}) = \ln(1) = 0
$$

Donc, nous avons :

$$
f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)}{h}
$$

Calculons $$ f(h) $$ pour $$ h $$ proche de 0 :

$$
f(h) = \ln(h + 1 + \sqrt{h^2 + 2h})
$$

Pour $$ h $$ proche de 0, nous avons :

$$
\sqrt{h^2 + 2h} \sim \sqrt{2h} \quad \text{(car } h^2 \text{ est négligeable)}
$$

Donc :

$$
f(h) \sim \ln(1 + h + \sqrt{2h}) \sim \ln(\sqrt{2h}) \quad \text{(car } h \text{ est petit)}
$$

Ainsi :

$$
f(h) \sim \frac{1}{2} \ln(2) + \frac{1}{2} \ln(h)
$$

En substituant dans la limite :

$$
f'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{1}{2} \ln(2) + \frac{1}{2} \ln(h)}{h}
$$

La partie $$ \frac{1}{2} \ln(h) $$ tend vers $$ -\infty $$ plus rapidement que $$ h $$ ne tend vers 0, donc :

$$
f'(0) = 0
$$

**Interprétation graphique :** Cela signifie que la fonction $$ f $$ est dérivable à droite en 0 et que la pente de la tangente à la courbe $$ C_f $$ en ce point est nulle, indiquant un point d'inflexion ou un minimum local.
1) La limite de $$ f(x) $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$ est $$ +\infty $$. 2) La limite de $$ \frac{f(x)}{x} $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$ est 0. Cela signifie que $$ f(x) $$ croît moins vite que $$ x $$ quand $$ x $$ devient très grand. 3) La fonction $$ f $$ est dérivable à droite en 0 et la pente de la tangente à la courbe $$ C_f $$ en ce point est nulle.

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