Encuentre el valor exacto de $$ \cos 75^{\circ} $$

Question

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Para encontrar el valor exacto de $$ \cos 75^{\circ} $$, utilizamos la fórmula de adición para el coseno:

$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$

Dado que $$ 75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ} $$, aplicamos la fórmula:

$$
\cos 75^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}
$$

Conociendo los valores trigonométricos exactos:

$$
\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}
$$

Sustituyendo estos valores en la fórmula:

$$
\cos 75^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$

Por lo tanto, el valor exacto de $$ \cos 75^{\circ} $$ es:

$$
\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
El valor exacto de $$ \cos 75^{\circ} $$ es $$ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$.

Encuentre el valor exacto de \( \cos 75^{\circ} \)

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