Resolve esse exercício de em fórmulas gerais: d) $$ \operatorname{Tg} 2 x=\sqrt{3} $$ e) $$ \operatorname{Sen}^{2} x=\operatorname{Cos}^{2} x $$

Question

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Vamos resolver os exercícios um a um.

### d) $$ \operatorname{Tg} 2x = \sqrt{3} $$

Sabemos que $$ \operatorname{Tg} 2x = \frac{2 \operatorname{Tg} x}{1 - \operatorname{Tg}^2 x} $$. Para resolver a equação, vamos igualar:

$$
\frac{2 \operatorname{Tg} x}{1 - \operatorname{Tg}^2 x} = \sqrt{3}
$$

Multiplicando ambos os lados por $$ 1 - \operatorname{Tg}^2 x $$:

$$
2 \operatorname{Tg} x = \sqrt{3} (1 - \operatorname{Tg}^2 x)
$$

Rearranjando a equação:

$$
2 \operatorname{Tg} x = \sqrt{3} - \sqrt{3} \operatorname{Tg}^2 x
$$

Colocando todos os termos de um lado:

$$
\sqrt{3} \operatorname{Tg}^2 x + 2 \operatorname{Tg} x - \sqrt{3} = 0
$$

Essa é uma equação quadrática em $$ \operatorname{Tg} x $$. Usando a fórmula de Bhaskara:

$$
\operatorname{Tg} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

onde $$ a = \sqrt{3} $$, $$ b = 2 $$ e $$ c = -\sqrt{3} $$:

$$
\operatorname{Tg} x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})}}{2 \cdot \sqrt{3}}
$$

Calculando o discriminante:

$$
b^2 - 4ac = 4 + 12 = 16
$$

Portanto:

$$
\operatorname{Tg} x = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}
$$

Isso nos dá duas soluções:

1. $$ \operatorname{Tg} x = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
2. $$ \operatorname{Tg} x = \frac{-6}{2\sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $$

Agora, resolvendo para $$ x $$:

1. Para $$ \operatorname{Tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} $$:
   $$
   x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

2. Para $$ \operatorname{Tg} x = -\sqrt{3} $$:
   $$
   x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

### e) $$ \operatorname{Sen}^2 x = \operatorname{Cos}^2 x $$

Sabemos que $$ \operatorname{Sen}^2 x + \operatorname{Cos}^2 x = 1 $$. Portanto, podemos substituir $$ \operatorname{Cos}^2 x $$ por $$ 1 - \operatorname{Sen}^2 x $$:

$$
\operatorname{Sen}^2 x = 1 - \operatorname{Sen}^2 x
$$

Somando $$ \operatorname{Sen}^2 x $$ em ambos os lados:

$$
2 \operatorname{Sen}^2 x = 1
$$

Dividindo por 2:

$$
\operatorname{Sen}^2 x = \frac{1}{2}
$$

Portanto:

$$
\operatorname{Sen} x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Agora, resolvendo para $$ x $$:

1. Para $$ \operatorname{Sen} x = \frac{\sqrt{2}}{2} $$:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

2. Para $$ \operatorname{Sen} x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$:
   $$
   x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
   $$

### Resumo das soluções:

- Para $$ \operatorname{Tg} 2x = \sqrt{3} $$:
  - $$ x = \frac{\pi}{6} + k\pi $$
  - $$ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi $$

- Para $$ \operatorname{Sen}^2 x = \operatorname{Cos}^2 x $$:
  - $$ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi $$
  - $$ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi $$
  - $$ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi $$
  - $$ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi $$

Onde $$ k \in \mathbb{Z} $$.
Para $$ \operatorname{Tg} 2x = \sqrt{3} $$: - $$ x = \frac{\pi}{6} + k\pi $$ - $$ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi $$ Para $$ \operatorname{Sen}^2 x = \operatorname{Cos}^2 x $$: - $$ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi $$ - $$ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi $$ - $$ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi $$ - $$ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi $$ Onde $$ k \in \mathbb{Z} $$.

Resolve esse exercício de em fórmulas gerais: d) \( \operatorname{Tg} 2 x=\sqrt{3} \) e) \( \operatorname{Sen}^{2} x=\operatorname{Cos}^{2} x \)

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