365. Dolžina vektorja \( \vec{a} \) je 6 , dolžina vektorja \( \vec{b} \) je 5 , kot med njima pa \( \frac{2 \pi}{3} \). Izračunajte kot med vektorjema \( \vec{a} \) in \( \vec{a}-\vec{b} \).

Najprej izračunamo kot med vektorjema \( \vec{a} \) in \( \vec{b} \). Dolžini vektorjev in kot med njima lahko uporabimo formulo za skalarni produkt. Obvezno se spomnimo, da je skalarni produkt definiran kot: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \] Kjer je \( \theta \) kot med vektorjema. Tu imamo: \[ |\vec{a}| = 6, \quad |\vec{b}| = 5, \quad \theta = \frac{2\pi}{3} \] Torej: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -15 \] Sledi izračun dolžine vektorja \( \vec{a} - \vec{b} \): \[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta} \] Kože opazimo, da imamo: \[ = \sqrt{6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{36 + 25 + 30} = \sqrt{91} \] Sedaj moramo izračunati kot med vektorjema \( \vec{a} \) in \( \vec{a} - \vec{b} \). Ponovno uporabimo formulo za skalarni produkt: \[ |\vec{a}| |\vec{a} - \vec{b}| \cos(\phi) = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} \] Torej: \[ \phi = \cos^{-1}\left(\frac{|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{a} - \vec{b}|}\right) \] Izračunamo \( |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}\): \[ |\vec{a}|^2 = 36, \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = -15 \Rightarrow 36 - (-15) = 51 \] Vstavimo v formulo: \[ \phi = \cos^{-1}\left(\frac{51}{6 \cdot \sqrt{91}}\right) \] In to je kot med vektorjema \( \vec{a} \) in \( \vec{a} - \vec{b} \).