Trace la grafica de la siy funcion dcterminando sus intervalos en los cuales es creciente y decreciente \( f(x)=x^{2}+6 x-1 \)

Para analizar y graficar la función cuadrática \( f(x) = x^{2} + 6x - 1 \), seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Identificar la Forma de la Función** La función es una parábola que abre hacia arriba, ya que el coeficiente de \( x^{2} \) es positivo (\( a = 1 \)). ### 2. **Encontrar el Vértice de la Parábola** El vértice de una parábola de la forma \( f(x) = ax^{2} + bx + c \) se encuentra en: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 1} = -3 \] Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice: \[ f(-3) = (-3)^{2} + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 \] **Vértice:** \((-3, -10)\) ### 3. **Determinar los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento** Para una parábola que abre hacia arriba: - **Decrece:** A la izquierda del vértice. - **Crece:** A la derecha del vértice. Por lo tanto: - **Intervalo Decreciente:** \( (-\infty, -3) \) - **Intervalo Creciente:** \( (-3, +\infty) \) ### 4. **Calcular las Intersecciones con los Ejes** - **Intersección con el Eje Y:** \[ f(0) = 0^{2} + 6(0) - 1 = -1 \] Punto: \((0, -1)\) - **Intersección con el Eje X:** Resolvemos \( f(x) = 0 \): \[ x^{2} + 6x - 1 = 0 \] Utilizando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} \] Aproximadamente: \[ x \approx -3 \pm 3.162 \] Puntos de intersección: \((-3 + \sqrt{10}, 0)\) y \((-3 - \sqrt{10}, 0)\) ### 5. **Esbozo de la Gráfica** Aunque no puedo dibujar la gráfica aquí, a continuación se describe cómo se vería: - **Forma:** Parábola con apertura hacia arriba. - **Vértice:** En \((-3, -10)\). - **Intersecciones:** - Eje Y en \((0, -1)\). - Eje X en \((-3 + \sqrt{10}, 0)\) y \((-3 - \sqrt{10}, 0)\). - **Comportamiento:** - Decrece en el intervalo \( (-\infty, -3) \). - Crece en el intervalo \( (-3, +\infty) \). ### 6. **Resumen de Intervalos** - **Crece:** Para \( x > -3 \). - **Decrece:** Para \( x < -3 \). ### 7. **Representación Tabular de Algunos Puntos Clave** | \( x \) | \( f(x) \) | |---------|------------| | -5 | \( (-5)^2 + 6(-5) - 1 = 25 - 30 - 1 = -6 \) | | -4 | \( (-4)^2 + 6(-4) - 1 = 16 - 24 - 1 = -9 \) | | -3 | \( (-3)^2 + 6(-3) - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 \) | | -2 | \( (-2)^2 + 6(-2) - 1 = 4 - 12 - 1 = -9 \) | | -1 | \( (-1)^2 + 6(-1) - 1 = 1 - 6 - 1 = -6 \) | | 0 | \( 0^2 + 6(0) - 1 = -1 \) | | 1 | \( 1^2 + 6(1) - 1 = 1 + 6 - 1 = 6 \) | | 2 | \( 2^2 + 6(2) - 1 = 4 + 12 - 1 = 15 \) | Estos puntos ayudan a visualizar la forma de la parábola al graficarla. ¡Espero que esta explicación te haya sido útil para comprender y graficar la función \( f(x) = x^{2} + 6x - 1 \)!