En los ejercicios 1 a 4 , verificar el enunciado demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado iz- quierdo. 1. \( \int\left(-\frac{6}{x^{4}}\right) d x=\frac{2}{x^{3}}+C \) 2. \( \int\left(8 x^{3}+\frac{1}{2 x^{2}}\right) d x=2 x^{4}-\frac{1}{2 x}+C \) 3. \( \int(x-4)(x+4) d x=\frac{1}{3} x^{3}-16 x+C \) 4. \( \int \frac{x^{2}-1}{x^{3 / 2}} d x=\frac{2\left(x^{2}+3\right)}{3 \sqrt{x}}+C \)

Para verificar cada uno de los enunciados dados, demostraremos que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo. --- **1.** \( \int\left(-\frac{6}{x^{4}}\right) dx = \frac{2}{x^{3}} + C \) **Verificación:** Calculamos la derivada del lado derecho: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x^{3}} + C\right) = \frac{d}{dx}\left(2x^{-3}\right) = 2 \cdot (-3)x^{-4} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^{4}} \] Esto coincide con el integrando del lado izquierdo. --- **2.** \( \int\left(8x^{3} + \frac{1}{2x^{2}}\right) dx = 2x^{4} - \frac{1}{2x} + C \) **Verificación:** Calculamos la derivada del lado derecho: \[ \frac{d}{dx}\left(2x^{4} - \frac{1}{2x} + C\right) = 8x^{3} + \frac{1}{2}x^{-2} = 8x^{3} + \frac{1}{2x^{2}} \] Esto coincide con el integrando del lado izquierdo. --- **3.** \( \int(x - 4)(x + 4) dx = \frac{1}{3}x^{3} - 16x + C \) **Verificación:** Primero, expandimos el integrando: \[ (x - 4)(x + 4) = x^{2} - 16 \] Ahora, calculamos la derivada del lado derecho: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{3} - 16x + C\right) = x^{2} - 16 \] Esto coincide con el integrando expandido. --- **4.** \( \int \frac{x^{2} - 1}{x^{3/2}} dx = \frac{2(x^{2} + 3)}{3\sqrt{x}} + C \) **Verificación:** Simplificamos el integrando: \[ \frac{x^{2} - 1}{x^{3/2}} = x^{1/2} - x^{-3/2} \] Calculamos la derivada del lado derecho: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2(x^{2} + 3)}{3\sqrt{x}} + C\right) = \frac{2}{3}\cdot \frac{d}{dx}\left(x^{2} + 3\right) \cdot x^{-1/2} + \frac{2(x^{2} + 3)}{3} \cdot \frac{d}{dx}\left(x^{-1/2}\right) \] Desarrollando los términos: \[ = \frac{2}{3} \cdot 2x \cdot x^{-1/2} + \frac{2(x^{2} + 3)}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right) \] \[ = \frac{4x^{1/2}}{3} - \frac{x^{2} + 3}{3} \cdot x^{-3/2} \] \[ = \frac{4}{3}x^{1/2} - \frac{x^{2}}{3x^{3/2}} - \frac{3}{3x^{3/2}} \] \[ = \frac{4}{3}x^{1/2} - \frac{1}{3}x^{1/2} - x^{-3/2} \] \[ = x^{1/2} - x^{-3/2} \] Esto coincide con el integrando simplificado \( x^{1/2} - x^{-3/2} \). --- En todos los casos, hemos verificado que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo, confirmando la validez de las igualdades presentadas.