a) \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}-63 x \)

Данное уравнение \( f(x) = x^{3} - 6x^{2} - 63x \) представляет собой кубическую функцию. Чтобы найти корни этой функции, нам нужно решить уравнение \( f(x) = 0 \). Давайте найдем корни функции \( f(x) \) методом факторинга: Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(x^{3}-6x^{2}-63x\) - step1: Factor the expression: \(x\left(x^{2}-6x-63\right)\) Мы не можем факторизовать квадратное уравнение \( x^{2} - 6x - 63 = 0 \) напрямую. Давайте попробуем найти корни квадратного уравнения методом квадратичной формулы: Solve the quadratic equation by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula: \(x^{2}-6x-63=0\) - step1: Solve using the quadratic formula: \(x=\frac{6\pm \sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-63\right)}}{2}\) - step2: Simplify the expression: \(x=\frac{6\pm \sqrt{288}}{2}\) - step3: Simplify the expression: \(x=\frac{6\pm 12\sqrt{2}}{2}\) - step4: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x=\frac{6+12\sqrt{2}}{2}\\&x=\frac{6-12\sqrt{2}}{2}\end{align}\) - step5: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=3+6\sqrt{2}\\&x=\frac{6-12\sqrt{2}}{2}\end{align}\) - step6: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=3+6\sqrt{2}\\&x=3-6\sqrt{2}\end{align}\) - step7: Rewrite: \(x_{1}=3-6\sqrt{2},x_{2}=3+6\sqrt{2}\) Корни квадратного уравнения \( x^{2} - 6x - 63 = 0 \) равны \( x_{1} = 3 - 6\sqrt{2} \) и \( x_{2} = 3 + 6\sqrt{2} \). Следовательно, корни функции \( f(x) = x^{3} - 6x^{2} - 63x \) равны \( x = 0 \), \( x = 3 - 6\sqrt{2} \) и \( x = 3 + 6\sqrt{2} \).