En una fábrica de tarugos se tlenen dos máquinas, \( M_{1} \) y \( M_{2} \), la primera fábrica el \( 60 \% \) de la producción y la segunda el \( 40 \% \), en \( M_{1} \) el \( 6 \% \) de los tarugos salen defectuosos y en \( M_{2} \) el \( 4 \% \) de ellos también sale defectuoso. Si se escoge un tarugo al azar que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que haya sido fabricado por la maquina 1 ?

Para resolver este problema, utilizaremos el **Teorema de Bayes**. Queremos encontrar la probabilidad de que un tarugo defectuoso haya sido fabricado por la máquina \( M_{1} \). ### Datos proporcionados: - **Producción total:** - \( M_{1} \) produce el 60% de los tarugos. - \( M_{2} \) produce el 40% de los tarugos. - **Defectos:** - En \( M_{1} \), el 6% de los tarugos son defectuosos. - En \( M_{2} \), el 4% de los tarugos son defectuosos. ### Paso 1: Definir las probabilidades - \( P(M_{1}) = 0.60 \) (probabilidad de que un tarugo sea producido por \( M_{1} \)) - \( P(M_{2}) = 0.40 \) (probabilidad de que un tarugo sea producido por \( M_{2} \)) - \( P(D | M_{1}) = 0.06 \) (probabilidad de que un tarugo de \( M_{1} \) sea defectuoso) - \( P(D | M_{2}) = 0.04 \) (probabilidad de que un tarugo de \( M_{2} \) sea defectuoso) ### Paso 2: Calcular la probabilidad total de que un tarugo sea defectuoso Usamos la **probabilidad total**: \[ P(D) = P(D | M_{1}) \cdot P(M_{1}) + P(D | M_{2}) \cdot P(M_{2}) \] \[ P(D) = (0.06 \cdot 0.60) + (0.04 \cdot 0.40) = 0.036 + 0.016 = 0.052 \] ### Paso 3: Aplicar el Teorema de Bayes Queremos encontrar \( P(M_{1} | D) \): \[ P(M_{1} | D) = \frac{P(D | M_{1}) \cdot P(M_{1})}{P(D)} \] \[ P(M_{1} | D) = \frac{0.06 \cdot 0.60}{0.052} = \frac{0.036}{0.052} = \frac{9}{13} \approx 0.6923 \] ### Resultado La probabilidad de que un tarugo defectuoso haya sido fabricado por la máquina \( M_{1} \) es: \[ P(M_{1} | D) = \frac{9}{13} \approx 69.23\% \] **Por lo tanto, existe aproximadamente un 69.23% de probabilidad de que el tarugo defectuoso haya sido fabricado por la máquina \( M_{1} \).**