2) Déterminer l'argument et le module du nombre complexe suivant: \( z_{1}=(1-i)^{6} \). 3) Déterminer l'ensemble des points \( M(z) \) vérifiant: \( (z+2)(\bar{z}+i) \in \mathbb{R} \).

Pour déterminer l'argument et le module du nombre complexe \( z_{1}=(1-i)^{6} \), nous commençons par écrire \( 1-i \) sous forme polaire. Le module est \( |1-i| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \), et l'argument est \( \arg(1-i) = \tan^{-1}\left(-1\right) = -\frac{\pi}{4} \). Donc, \( z_{1} = \left( \sqrt{2} \right)^{6} \text{cis}(-\frac{3\pi}{2}) = 8 \text{cis}(-\frac{3\pi}{2}) \), ce qui signifie que le module est 8 et l'argument est \( -\frac{3\pi}{2} \) ou simplement \( \frac{\pi}{2} \) en ajoutant \( 2\pi \). Pour l'ensemble des points \( M(z) \) vérifiant \( (z+2)(\bar{z}+i) \in \mathbb{R} \), on commence par écrire \( z = x + iy \). En affirmant que \( \bar{z} = x - iy \), l'expression devient \( (x+2 + iy)(x - iy + i) \), qui se développe pour donner une partie réelle et imaginaire. En imposant que la partie imaginaire soit nulle, nous obtenons une équation qui décrit une droite dans le plan complexe. Plus précisément, cela se traduit par une relation linéaire entre \( x \) et \( y \), déterminant ainsi l'ensemble des points \( M(z) \) sur cette droite.