4) Résoudre dans \( C \) les equations: \[ (E): 2 z^{2}-(6+2 i) z+6 i=0 \text { et }(F): z^{4}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \] 5) Déterminer la nature de la similitude directe suivante : \( \left\{\begin{array}{c}f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \\ z \mapsto i z-2+3 i\end{array}\right. \)

**4) Résolution des équations dans \( \mathbb{C} \):** **(E) \( 2 z^{2} - (6 + 2i) z + 6i = 0 \)** Nous utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation : \[ z = \frac{(6 + 2i) \pm \sqrt{(6 + 2i)^2 - 4 \times 2 \times 6i}}{2 \times 2} \] Calculons le discriminant \( \Delta \) : \[ \Delta = (6 + 2i)^2 - 4 \times 2 \times 6i = 32 - 24i \] Pour trouver la racine carrée de \( \Delta \), posons \( \sqrt{32 - 24i} = a + ib \). En résolvant, on obtient : \[ \sqrt{32 - 24i} = 6 - 2i \quad \text{ou} \quad -6 + 2i \] Ainsi, les solutions sont : \[ z_1 = \frac{6 + 2i + 6 - 2i}{4} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ z_2 = \frac{6 + 2i - (6 - 2i)}{4} = \frac{4i}{4} = i \] **Solutions de (E) :** \( z = 3 \) et \( z = i \) --- **(F) \( z^{4} = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)** Représentons le membre de droite sous forme exponentielle : \[ \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \pi/3} \] Pour trouver les racines quatrième, nous utilisons : \[ z_k = e^{i (\pi/3 + 2k\pi)/4} = e^{i (\pi/12 + k\pi/2)} \quad \text{pour} \quad k = 0, 1, 2, 3 \] Ainsi, les solutions sont : \[ z_0 = e^{i \pi/12} = \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \] \[ z_1 = e^{i 7\pi/12} = \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) \] \[ z_2 = e^{i 13\pi/12} = \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) \] \[ z_3 = e^{i 19\pi/12} = \cos\left(\dfrac{19\pi}{12}\right) + i \sin\left(\dfrac{19\pi}{12}\right) \] **Solutions de (F) :** \[ z = e^{i \pi/12}, \quad e^{i 7\pi/12}, \quad e^{i 13\pi/12}, \quad e^{i 19\pi/12} \] --- **5) Nature de la similitude directe \( f(z) = i z - 2 + 3i \)** La transformation \( f \) peut être exprimée sous la forme affine : \[ f(z) = \alpha z + \beta \quad \text{avec} \quad \alpha = i \quad \text{et} \quad \beta = -2 + 3i \] Analysons les paramètres : - **Rotation et homothétie :** Le terme \( \alpha = i \) a pour module \( |\alpha| = 1 \) et argument \( \arg(\alpha) = \dfrac{\pi}{2} \). Cela correspond à une rotation de \( 90^\circ \) (ou \( \dfrac{\pi}{2} \) radians) sans changement de taille (puisque le module est 1). - **Translation :** Le terme \( \beta = -2 + 3i \) représente une translation dans le plan complexe de vecteur \( (-2, 3) \). **Conclusion :** La similitude directe \( f \) est composée d'une rotation de \( 90^\circ \) autour de l'origine suivie d'une translation par le vecteur \( -2 + 3i \). Elle conserve les angles et les rapports de distances (sans réflexion), caractéristique d'une similitude directe.