$$ \lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { - x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Parece que no puedo calcular el límite directamente en dos variables. Sin embargo, puedo ayudarte a resolverlo paso a paso.

Para encontrar el límite $$ \lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { - x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } $$, podemos evaluar el límite a lo largo de diferentes caminos hacia el punto $$ (0,0) $$.

### Paso 1: Evaluar a lo largo de $$ y = 0 $$

Si tomamos el camino donde $$ y = 0 $$:

$$
\frac{-x(0)^2}{x^2 + (0)^4} = \frac{0}{x^2} = 0
$$

### Paso 2: Evaluar a lo largo de $$ x = 0 $$

Si tomamos el camino donde $$ x = 0 $$:

$$
\frac{-(0)y^2}{(0)^2 + y^4} = \frac{0}{y^4} = 0
$$

### Paso 3: Evaluar a lo largo de $$ y = kx $$ (donde $$ k $$ es una constante)

Si tomamos el camino donde $$ y = kx $$:

$$
\frac{-x(kx)^2}{x^2 + (kx)^4} = \frac{-kx^3}{x^2 + k^4x^4} = \frac{-kx^3}{x^2(1 + k^4x^2)} = \frac{-k x}{1 + k^4 x^2}
$$

Cuando $$ (x,y) \rightarrow (0,0) $$, $$ x \rightarrow 0 $$:

$$
\frac{-k x}{1 + k^4 x^2} \rightarrow 0
$$

### Paso 4: Evaluar a lo largo de $$ y = x^n $$ (donde $$ n $$ es un número positivo)

Si tomamos el camino donde $$ y = x^n $$:

$$
\frac{-x(x^n)^2}{x^2 + (x^n)^4} = \frac{-x^{2+n}}{x^2 + x^{4n}} = \frac{-x^{2+n}}{x^2(1 + x^{4n-2})} = \frac{-x^n}{1 + x^{4n-2}}
$$

Cuando $$ (x,y) \rightarrow (0,0) $$, $$ x \rightarrow 0 $$:

$$
\frac{-x^n}{1 + x^{4n-2}} \rightarrow 0
$$

### Conclusión

Hemos evaluado el límite a lo largo de varios caminos y en todos los casos, el límite se aproxima a 0. Por lo tanto, podemos concluir que:

$$
\lim _ { ( x , y ) \rightarrow ( 0,0 ) } \frac { - x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } = 0
$$
El límite es 0.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1: Evaluar a lo largo de

Paso 2: Evaluar a lo largo de

Paso 3: Evaluar a lo largo de (donde es una constante)

Paso 4: Evaluar a lo largo de (donde es un número positivo)

Conclusión

Beyond the Answer

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