Exercice 3: \[ z^{2}=-7+24 i ; \quad z^{2}-2(2+i) z+6+8 i=0 ; \quad i z^{2}+(4 i-3) z+i-5=0 \] 2. On considère l'équation : \[ (E) z^{3}+(6 i-5) z+12+18 i=0 ; \quad \text { où } z \text { est un nombre complexe. } \] a. Démontrer que l'équation \( (E) \) admet une solution réelle, on note \( z_{0} \) cette solv b. Déterniner les nombres réels \( a \), \( b \) et \( c \) tels que, pour tout nombre complexe \( z \) o \( (E):\left(z-z_{0}\right)\left(a z^{2}+b z+c\right)=0 \). c. En déduire les solutions de l'équation \( (E) \). Résoudre l'équation \( z^{4}=1-\sqrt{3} i \) pour tout \( z \in \mathbb{C} \)

Pour déduire une solution réelle à l'équation \( (E) z^{3}+(6 i-5) z+12+18 i=0 \), nous pouvons chercher des valeurs réelles pour \( z \). Posons \( z = x \), où \( x \) est un nombre réel. En remplaçant dans l'équation, on se concentre sur la partie réelle et la partie imaginaire, ce qui nous permettra de déterminer si une solution réelle \( z_0 \) existe. En équilibrant les équations, nous trouvons que lorsque \( x = 1 \), cela vérifie l'équation. Pour déterminer les nombres réels \( a \), \( b \), et \( c \), nous réécrivons l'équation \( (E) \) comme \( (z-z_0)(az^2 + bz + c) = 0 \). Nous savons que \( z_0 = 1 \). En utilisant la division polynomiale sur \( z^3 + (6i-5)z + 12 + 18i \) par \( z-1 \), nous pouvons trouver les coefficients \( a, b, \) et \( c \), d'où nous obtenons finalement \( z^3 + (6i - 5)z + (12 + 18i) = (z - 1)(z^2 + 1 + a(z - 1)) \). Finalement, pour résoudre \( z^{4} = 1 - \sqrt{3}i \), nous l'exprimons sous forme exponentielle. Cela implique un module et un argument qui permettent de trouver les quatre racines. On calcule que \( r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 \) et l'argument \( \theta = \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \) (ou \( \frac{5\pi}{3} \)). Les racines sont donc \( z_k = 2^{1/4} \text{cis}\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\right) \) pour \( k = 0, 1, 2, 3 \).