\( \int \frac { \omega t \pi x } { \cos \omega t x } + \frac { \phi \omega t x } { \sin x x t x } \)

La integral proporcionada es: \[ \int \frac{\omega t \pi x}{\cos(\omega t x)} + \frac{\phi \omega t x}{\sin(\omega t x)} \, dx \] Para resolver esta integral, podemos dividirla en dos partes y abordarlas por separado: \[ \int \frac{\omega t \pi x}{\cos(\omega t x)} \, dx + \int \frac{\phi \omega t x}{\sin(\omega t x)} \, dx \] ### 1. Primera Integral: \(\int \frac{\omega t \pi x}{\cos(\omega t x)} \, dx\) Realizamos un cambio de variable para simplificar la expresión: - Sea \( u = \omega t x \), entonces \( du = \omega t \, dx \) y \( dx = \frac{du}{\omega t} \). La integral se convierte en: \[ \int \frac{\omega t \pi x}{\cos(u)} \cdot \frac{du}{\omega t} = \pi \int \frac{x}{\cos(u)} \, du \] Sin embargo, \( x \) aún está en términos de \( u \). Dado que \( u = \omega t x \), entonces \( x = \frac{u}{\omega t} \). Sustituyendo: \[ \pi \int \frac{\frac{u}{\omega t}}{\cos(u)} \, du = \frac{\pi}{\omega t} \int \frac{u}{\cos(u)} \, du \] Esta integral no tiene una solución en términos de funciones elementales y se expresa mediante funciones especiales, como la **Funcción Logarítmica Integral** o **Funciones de Integrales Improprias**. ### 2. Segunda Integral: \(\int \frac{\phi \omega t x}{\sin(\omega t x)} \, dx\) Aplicamos un procedimiento similar: - Sea \( v = \omega t x \), entonces \( dv = \omega t \, dx \) y \( dx = \frac{dv}{\omega t} \). La integral se transforma en: \[ \int \frac{\phi \omega t x}{\sin(v)} \cdot \frac{dv}{\omega t} = \phi \int \frac{x}{\sin(v)} \, dv \] Nuevamente, \( x = \frac{v}{\omega t} \): \[ \phi \int \frac{\frac{v}{\omega t}}{\sin(v)} \, dv = \frac{\phi}{\omega t} \int \frac{v}{\sin(v)} \, dv \] Al igual que la primera integral, esta expresión no puede resolverse mediante funciones elementales y se expresa mediante funciones especiales. ### **Conclusión** La integral completa: \[ \int \frac{\omega t \pi x}{\cos(\omega t x)} + \frac{\phi \omega t x}{\sin(\omega t x)} \, dx \] no puede resolverse en términos de funciones elementales conocidas. Para una expresión más detallada, se requeriría el uso de **funciones especiales** o **aproximaciones numéricas** dependiendo del contexto y de los valores específicos de los parámetros involucrados.