Дан параллелепипед $$ A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} $$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $$ M, N $$ и $$ K $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для построения сечения параллелепипеда $$ ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $$ плоскостью, проходящей через точки $$ M, N $$ и $$ K $$, можно воспользоваться следующей последовательностью шагов:

1. **Определение координат точек:**
   
   Предположим, что параллелепипед расположен в пространстве с осями координат $$ OXYZ $$, где вершина $$ A $$ имеет координаты $$ (0, 0, 0) $$, $$ B $$ — $$ (a, 0, 0) $$, $$ D $$ — $$ (0, b, 0) $$, $$ A_{1} $$ — $$ (0, 0, c) $$, и аналогично для остальных вершин.

2. **Определение координат точек $$ M, N, K $$:**
   
   Необходимо установить, на каких ребрах или гранях находятся точки $$ M, N $$ и $$ K $$. Например:
   - $$ M $$ — середина ребра $$ AB $$: $$ M \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) $$
   - $$ N $$ — середина ребра $$ AD $$: $$ N \left( 0, \frac{b}{2}, 0 \right) $$
   - $$ K $$ — середина ребра $$ AA_{1} $$: $$ K \left( 0, 0, \frac{c}{2} \right) $$

3. **Определение уравнения плоскости:**
   
   Используя координаты трёх точек $$ M, N, K $$, можно найти уравнение плоскости. Для этого:

- Составляем матрицу для вычисления нормального вектора $$ \vec{n} $$:
     $$
     \vec{MN} = N - M = \left( -\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right)
     $$
     $$
     \vec{MK} = K - M = \left( -\frac{a}{2}, 0, \frac{c}{2} \right)
     $$
     $$
     \vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MK} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -\frac{a}{2} & \frac{b}{2} & 0 \
     -\frac{a}{2} & 0 & \frac{c}{2} \
     \end{vmatrix} = \left( \frac{b c}{4}, \frac{a c}{4}, \frac{a b}{4} \right)
     $$
   
   - Уравнение плоскости имеет вид:
     $$
     \frac{b c}{4} x + \frac{a c}{4} y + \frac{a b}{4} z = d
     $$
     Подставляем координаты точки $$ M $$:
     $$
     \frac{b c}{4} \cdot \frac{a}{2} + \frac{a c}{4} \cdot 0 + \frac{a b}{4} \cdot 0 = d \Rightarrow d = \frac{a b c}{8}
     $$
     Таким образом, уравнение плоскости:
     $$
     \frac{b c}{4} x + \frac{a c}{4} y + \frac{a b}{4} z = \frac{a b c}{8}
     $$
     Или, после упрощения:
     $$
     2 b c x + 2 a c y + 2 a b z = a b c
     $$

4. **Нахождение сечения:**
   
   Сечение параллелепипеда данной плоскостью будет многоугольником, гранями которого будут пересечения плоскости с рёбрами параллелепипеда. Необходимо найти точки пересечения плоскости с рёбрами, решив систему уравнений для каждой пары ребра и плоскости.

5. **Построение графика:**
   
   После нахождения всех точек пересечения, соедините их, чтобы получить фигуру сечения. В зависимости от расположения плоскости, сечение может быть треугольником, четырехугольником или другим многоугольником.

**Пример:**

Предположим, что $$ a = b = c = 2 $$. Тогда уравнение плоскости упрощается до:
$$
2 \cdot 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2 \cdot 2 z = 2 \cdot 2 \cdot 2
$$
$$
8x + 8y + 8z = 8 \Rightarrow x + y + z = 1
$$
Теперь находим точки пересечения этой плоскости с рёбрами параллелепипеда и строим сечение.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете построить сечение заданного параллелепипеда плоскостью, проходящей через любые три заданные точки $$ M, N, K $$.
Для построения сечения параллелепипеда плоскостью через точки $$ M, N, K $$, определите координаты этих точек, найдите уравнение плоскости, используя эти точки, и затем определите точки пересечения этой плоскости с ребрами параллелепипеда. Затем соедините эти точки, чтобы получить сечение.

Дан параллелепипед \( A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \( M, N \) и \( K \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions