Question
Дараах томьёонуудын аль нэгийг эхэлж батлаад, түүнийг ашиглаж бусад гарган авна уу. \( \quad(15 \) оноо ) 1. \( \cos (\alpha+\beta) \) 2. \( \cos (\alpha-\beta) \)
Ask by Vargas Fernandez. in Mongolia
Jan 13,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
To find \( \cos(\alpha - \beta) \) using \( \cos(\alpha + \beta) \), use the identity:
\[
\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]
Similarly, to find \( \cos(\alpha + \beta) \) using \( \cos(\alpha - \beta) \), use:
\[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]
Solution
### Сонголт 1: \( \cos (\alpha + \beta) \) томьёог ашиглан \( \cos (\alpha - \beta) \) гаргах
**Эхний томьёо:**
\[
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]
**Шинэ томьёо гаргах алхам:**
1. **Чанар солих:**
Буруу томьёо нь \( \cos (\alpha + \beta) \) байна. Үнэн томьёог гаргахын тулд \( \beta \)-ийн оронд \( -\beta \) тавьж үзье.
2. **Буруу томьёонд \( \beta \)-ийн оронд \( -\beta \) тавих:**
\[
\cos (\alpha + (-\beta)) = \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (-\beta)
\]
3. **Тригонометрийн тэгшитгэл ашиглах:**
Тригонометрийн функцийг бодвол:
\[
\cos (-\beta) = \cos \beta
\]
\[
\sin (-\beta) = -\sin \beta
\]
4. **Өөрчлөлтүүдийг томьёонд эрүүлжүүлэх:**
\[
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha (-\sin \beta)
\]
\[
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]
**Дүгнэлт:**
Ийм маягаар, эхний томьёог ашиглан \( \cos (\alpha - \beta) \) томьёог гаргаж чадлаа.
\[
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]
### Сонголт 2: \( \cos (\alpha - \beta) \) томьёог ашиглан \( \cos (\alpha + \beta) \) гаргах
**Эхний томьёо:**
\[
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\]
**Шинэ томьёо гаргах алхам:**
1. **Чанар солих:**
Буруу томьёо нь \( \cos (\alpha - \beta) \) байна. Үнэн томьёог гаргахын тулд \( \beta \)-ийн оронд \( -\beta \) тавьж үзье.
2. **Буруу томьёонд \( \beta \)-ийн оронд \( -\beta \) тавих:**
\[
\cos (\alpha - (-\beta)) = \cos \alpha \cos (-\beta) + \sin \alpha \sin (-\beta)
\]
3. **Тригонометрийн тэгшитгэл ашиглах:**
Тригонометрийн функцийг бодвол:
\[
\cos (-\beta) = \cos \beta
\]
\[
\sin (-\beta) = -\sin \beta
\]
4. **Өөрчлөлтүүдийг томьёонд эрүүлжүүлэх:**
\[
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha (-\sin \beta)
\]
\[
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]
**Дүгнэлт:**
Ийм маягаар, эхний томьёог ашиглан \( \cos (\alpha + \beta) \) томьёог гаргаж чадлаа.
\[
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\]
### Дүгнэлт
Дээрх алхмуудыг ашиглан аль аль томьёог эхлээд нөхцөлд нь батлан, харин бусад томьёог үргэлжүүлэн гаргаж чадсан бөгөөд энэ нь тригонометрийн функцийг ойлгоход чухал ач холбогдолтой юм.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Beyond the Answer
Эхлээд \( \cos(\alpha + \beta) \) томъёог батлая: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \] Энэхүү томъёог ашиглаж \( \cos(\alpha - \beta) \)-г гарган авцгаая. Мэдээж, \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] гэх тул хагас дүнгээр, \( \cos \alpha, \sin \alpha, \cos \beta, \sin \beta \)-г хослуулан өөрсдийгөө батлахад бэлэн! Ингээд, хосолсон томъёонуудын хоорондох олон хамааралтайг мэдрэн, гүнзгий ойлголттой болох боломжтой.
