3. Dado que \( x^{2}-7 x+1=0 \), encuentra el valor de \( x^{4}+\frac{1}{x^{4}} \)

Primero, resolvamos la ecuación cuadrática \( x^{2}-7x+1=0 \) utilizando la fórmula general. Los valores de \( x \) son: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2} \] Ahora, para encontrar \( x^{4} + \frac{1}{x^{4}} \), primero necesitamos \( x^2 + \frac{1}{x^2} \). Utilizando la identidad y el valor de \( x^2 \): \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \] Primero, hallamos \( x + \frac{1}{x} \). De la ecuación \( x^2 - 7x + 1 = 0 \), tenemos \( x + \frac{1}{x} = 7 \) (porque si multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( \frac{1}{x} \), nos da la relación deseada). Sustituyendo en la identidad: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47 \] Ahora, usando \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) para encontrar \( x^4 + \frac{1}{x^4} \): \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 47^2 - 2 = 2209 - 2 = 2207 \] Así que el valor de \( x^4 + \frac{1}{x^4} \) es \( 2207 \).