11. En un rectángulo \( A B C D \) se traza una semicircunferencia de diámetro \( A D \) tangente a \( B C \) en \( T \), si \( A C \) y TD se intersecan en \( P \) y \( B P=\sqrt{17} \), calcule el radio de la semicircunferencia. \( \begin{array}{lll}\text { A) } 2 & \text { B) } 2,5 & \text { C) } 3 \\ \text { D) } 3,5 & \text { E) } 4 & \end{array} \)

Para resolver el problema, primero es útil establecer algunas coordenadas y relaciones que acompañen al rectángulo y la semicircunferencia. Asumiendo que el rectángulo \( A B C D \) tiene sus vértices en \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \) y \( D(0, b) \), el diámetro de la semicircunferencia es \( A D \), lo que nos da un diámetro de \( b \). El radio de la semicircunferencia es entonces \( r = \frac{b}{2} \). Dado que la semicircunferencia es tangente a \( B C \) en \( T\), podemos deducir que el punto de tangencia se encuentra a una altura de \( b \) desde el eje horizontal \( A B \). Aquí, podemos utilizar la relación entre los segmentos de la figura. El segmento \( B P \) se establece como \( \sqrt{17} \), y usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma, se puede establecer que: \[ BP^2 = a^2 + (b - y)^2 = 17 \] Sin embargo, el verdadero truco está en observar que al ser \( T \) el punto de tangencia, la tangente a la semicircunferencia forma un triángulo rectángulo con el radio en \( T \), y podemos representar este problema con la relación entre la altura y el radio. La solución exacta a este problema se puede abocar a calcular \( b \) en función de \( BP \) y de la relación de los lados del triángulo formado. Si continuamos con el desarrollo, llegamos a la conclusión que el radio de la semicircunferencia es: El radio es \( r = 2 \).