De una plancha rectangular de $$ 40 imes 30 \mathrm{~cm}^{2} $$, se recorta un cuadrado en cada una de sus esquinas para formar una caja sin tapa. Determine la longitud del lado del cuadrado recortado, para que la caja tenga volumen máximo.

Question

De una plancha rectangular de $$ 40 	imes 30 \mathrm{~cm}^{2} $$, se recorta un cuadrado en cada una de sus esquinas para formar una caja sin tapa. Determine la longitud del lado del cuadrado recortado, para que la caja tenga volumen máximo.

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Para resolver el problema, primero definimos la longitud del lado del cuadrado recortado como $$ x $$. Al recortar un cuadrado de lado $$ x $$ en cada esquina de la plancha rectangular de $$ 40 \, \text{cm} $$ de largo y $$ 30 \, \text{cm} $$ de ancho, la altura de la caja será $$ x $$, y las dimensiones de la base de la caja serán:

- Largo: $$ 40 - 2x $$
- Ancho: $$ 30 - 2x $$

El volumen $$ V $$ de la caja se puede expresar como:

$$
V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} = (40 - 2x)(30 - 2x)(x)
$$

Ahora, expandimos esta expresión:

$$
V = (40 - 2x)(30 - 2x)x
$$

Primero, multiplicamos los dos términos en paréntesis:

$$
(40 - 2x)(30 - 2x) = 1200 - 80x - 60x + 4x^2 = 1200 - 140x + 4x^2
$$

Ahora, multiplicamos por $$ x $$:

$$
V = (1200 - 140x + 4x^2)x = 1200x - 140x^2 + 4x^3
$$

Para encontrar el valor de $$ x $$ que maximiza el volumen, derivamos $$ V $$ con respecto a $$ x $$ y igualamos a cero:

$$
\frac{dV}{dx} = 1200 - 280x + 12x^2
$$

Igualamos la derivada a cero:

$$
12x^2 - 280x + 1200 = 0
$$

Dividimos toda la ecuación entre 4 para simplificar:

$$
3x^2 - 70x + 300 = 0
$$

Ahora aplicamos la fórmula cuadrática $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$:

Donde $$ a = 3 $$, $$ b = -70 $$, y $$ c = 300 $$:

$$
b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 300 = 4900 - 3600 = 1300
$$

Ahora calculamos $$ x $$:

$$
x = \frac{70 \pm \sqrt{1300}}{6}
$$

Calculamos $$ \sqrt{1300} $$:

$$
\sqrt{1300} \approx 36.06
$$

Por lo tanto:

$$
x = \frac{70 \pm 36.06}{6}
$$

Calculamos las dos posibles soluciones:

1. $$ x_1 = \frac{70 + 36.06}{6} \approx \frac{106.06}{6} \approx 17.68 $$
2. $$ x_2 = \frac{70 - 36.06}{6} \approx \frac{33.94}{6} \approx 5.66 $$

Dado que $$ x $$ debe ser menor que $$ 15 $$ (ya que $$ 40 - 2x > 0 $$ y $$ 30 - 2x > 0 $$), solo consideramos $$ x_2 \approx 5.66 \, \text{cm} $$.

Finalmente, verificamos que este valor maximiza el volumen calculando la segunda derivada:

$$
\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 280
$$

Evaluamos en $$ x \approx 5.66 $$:

$$
\frac{d^2V}{dx^2} \approx 24(5.66) - 280 \approx 135.84 - 280 < 0
$$

Esto indica que el volumen es máximo en $$ x \approx 5.66 \, \text{cm} $$.

Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado recortado que maximiza el volumen de la caja es aproximadamente:

$$
\boxed{5.66 \, \text{cm}}
$$
La longitud del lado del cuadrado recortado para maximizar el volumen de la caja es aproximadamente 5.66 cm.

De una plancha rectangular de \( 40 \times 30 \mathrm{~cm}^{2} \), se recorta un cuadrado en cada una de sus esquinas para formar una caja sin tapa. Determine la longitud del lado del cuadrado recortado, para que la caja tenga volumen máximo.

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