4. Построить графики функций: a) $$ y=3 x^{2}-9 $$ б) $$ y=\left|3 x^{2}-9\right| $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### 4. Построить графики функций:

#### a) $$ y = 3x^{2} - 9 $$

**Описание графика:**

Эта функция является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $$ x^{2} $$ положительный (3).

**Ключевые характеристики:**

- **Вершина параболы:** Найдём координаты вершины. Формула для вершины параболы $$ y = ax^{2} + bx + c $$:
  $$
  x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{и} \quad y_v = f(x_v)
  $$
  В нашем случае $$ a = 3 $$, $$ b = 0 $$, $$ c = -9 $$:
  $$
  x_v = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0
  $$
  $$
  y_v = 3(0)^2 - 9 = -9
  $$
  **Вершина:** $$ (0, -9) $$

- **Ось симметрии:** Прямая $$ x = 0 $$ (ось $$ y $$).

- **Пересечения с осями:**
  - **С осью $$ y $$:** При $$ x = 0 $$, $$ y = -9 $$.
  - **С осью $$ x $$:** Найдём $$ x $$ при $$ y = 0 $$:
    $$
    3x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3} \approx \pm1.732
    $$
    **Пересечения:** $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$

**График:**

Построение на координатной плоскости:

1. Отметьте вершину $$ (0, -9) $$.
2. Отметьте точки пересечения с осью $$ x $$: $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$.
3. Нарисуйте симметричную по оси $$ y $$ параболу, проходящую через отмеченные точки.

![График функции $$ y = 3x^{2} - 9 $$](https://i.imgur.com/XYZ1234.png) *(Примерный рисунок параболы)*

#### б) $$ y = |3x^{2} - 9| $$

**Описание графика:**

Модуль функции $$ y = |3x^{2} - 9| $$ отражает часть исходной параболы, где $$ y $$ была бы отрицательной, вверх, делая все значения $$ y $$ неотрицательными.

**Ключевые характеристики:**

- **Вершина параболы:** Та же, что и в пункте а), но значение $$ y $$ берётся по модулю.
  $$
  (0, |-9|) = (0, 9)
  $$
  
- **Ось симметрии:** Прямая $$ x = 0 $$.

- **Пересечения с осями:**
  - **С осью $$ y $$:** При $$ x = 0 $$, $$ y = 9 $$.
  - **С осью $$ x $$:** Решим уравнение $$ |3x^{2} - 9| = 0 $$:
    $$
    3x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3} \approx \pm1.732
    $$
    **Пересечения:** Те же, что и в пункте а).

- **Дополнительные точки:**
  - Для $$ |3x^{2} - 9| = y $$, когда $$ 3x^{2} - 9 \geq 0 $$ (то есть $$ |x| \geq \sqrt{3} $$), график совпадает с исходной параболой.
  - Когда $$ |x| < \sqrt{3} $$, $$ y = -(3x^{2} - 9) = 9 - 3x^{2} $$, что представляет собой "перевернутую" параболу с вершиной в $$ (0, 9) $$.

**График:**

Построение на координатной плоскости:

1. Отметьте точки пересечения с осью $$ y $$ и $$ x $$, как в пункте а).
2. Внутри интервала $$ |x| < \sqrt{3} $$ нарисуйте перевёрнутую параболу с вершиной в $$ (0, 9) $$.
3. За пределами этого интервала продолжите исходную параболу $$ y = 3x^{2} - 9 $$.
4. Объедините обе части, получив форму "В".

![График функции $$ y = |3x^{2} - 9| $$](https://i.imgur.com/ABC5678.png) *(Примерный рисунок модифицированной параболы)*

**Замечания:**

- График функции $$ y = |3x^{2} - 9| $$ состоит из двух частей:
  - Внешние области ($$ |x| \geq \sqrt{3} $$): парабола $$ y = 3x^{2} - 9 $$.
  - Внутренняя область ($$ |x| < \sqrt{3} $$): перевёрнутая парабола $$ y = 9 - 3x^{2} $$.

- Такая конструкция гарантирует, что $$ y $$ всегда неотрицательно, поскольку берётся модуль выражения.

Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению (например, Desmos, GeoGebra), вы можете построить эти функции для наглядного представления.
### 4. Построить графики функций: #### a) $$ y = 3x^{2} - 9 $$ - **Вершина:** $$ (0, -9) $$ - **Пересечения с осями:** $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$ - **График:** Парабола, открывающаяся вверх, с вершиной в точке $$ (0, -9) $$ и пересечениями с осью $$ x $$ в $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$. #### б) $$ y = |3x^{2} - 9| $$ - **Вершина:** $$ (0, 9) $$ - **Пересечения с осями:** $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$ - **График:** График состоит из двух частей: - Внешние области ($$ |x| \geq \sqrt{3} $$): парабола $$ y = 3x^{2} - 9 $$. - Внутренняя область ($$ |x| < \sqrt{3} $$): перевёрнутая парабола $$ y = 9 - 3x^{2} $$. - **Общее описание:** График имеет "В"-образную форму с вершиной в $$ (0, 9) $$ и пересечениями с осью $$ x $$ в $$ (\sqrt{3}, 0) $$ и $$ (-\sqrt{3}, 0) $$.

4. Построить графики функций: a) \( y=3 x^{2}-9 \) б) \( y=\left|3 x^{2}-9\right| \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Pre Algebra Questions