Hallar el área de la región limitada por \( y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \) y \( \quad y=\frac{3 x}{\sqrt{x+1}} \). tallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado

Para hallar el área de la región limitada por las funciones \( y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \) y \( y=\frac{3 x}{\sqrt{x+1}} \), seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección** de las dos funciones. 2. **Determinar el área** entre las dos curvas en el intervalo definido por los puntos de intersección. 3. **Calcular el valor promedio** de la función en el intervalo indicado. ### Paso 1: Encontrar los puntos de intersección Igualamos las dos funciones: \[ \frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} = \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \] Multiplicamos ambos lados por \( \sqrt{x+1} \) (asumiendo que \( x+1 > 0 \)): \[ x^{2} = 3x \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^{2} - 3x = 0 \] Factorizamos: \[ x(x - 3) = 0 \] Los puntos de intersección son \( x = 0 \) y \( x = 3 \). ### Paso 2: Determinar el área entre las curvas El área \( A \) entre las curvas se calcula con la integral definida: \[ A = \int_{0}^{3} \left( \frac{3x}{\sqrt{x+1}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \right) dx \] Simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ A = \int_{0}^{3} \frac{3x - x^{2}}{\sqrt{x+1}} \, dx \] Ahora, calculamos esta integral. ### Paso 3: Calcular el valor promedio de la función El valor promedio \( \bar{f} \) de la función en el intervalo \([0, 3]\) se calcula como: \[ \bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] donde \( a = 0 \), \( b = 3 \) y \( f(x) \) es la función que estamos considerando. En este caso, tomaremos la función superior \( f(x) = \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \). Ahora, procederemos a calcular el área y el valor promedio. Voy a realizar los cálculos necesarios. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using partial integration formula: \(\int_{0}^{3} \frac{3x}{\sqrt{x+1}} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{3x}{\sqrt{x+1}} dx\) - step2: Rewrite the expression: \(\int 3\times \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx\) - step3: Use properties of integrals: \(3\times \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx\) - step4: Evaluate the integral: \(3\times \int \left(\sqrt{x+1}\right)^{-1}x dx\) - step5: Prepare for integration by parts: \(\begin{align}&u=x\\&dv=\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx\end{align}\) - step6: Calculate the derivative: \(\begin{align}&du=dx\\&dv=\frac{1}{\sqrt{x+1}}dx\end{align}\) - step7: Evaluate the integral: \(\begin{align}&du=dx\\&v=2\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\end{align}\) - step8: Substitute the values into formula: \(3\left(x\times 2\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-\int 1\times 2\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}} dx\right)\) - step9: Calculate: \(3\left(2x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-\int 2\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}} dx\right)\) - step10: Calculate: \(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-3\times \int 2\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}} dx\) - step11: Evaluate the integral: \(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-4\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}\) - step12: Return the limits: \(\left(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-4\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}\right)\bigg |_{0}^{3}\) - step13: Calculate the value: \(8\) Calculate the integral \( \int_{0}^{3} \frac{3x - x^{2}}{\sqrt{x+1}} \, dx \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using partial integration formula: \(\int_{0}^{3} \frac{3x-x^{2}}{\sqrt{x+1}} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{3x-x^{2}}{\sqrt{x+1}} dx\) - step2: Rewrite the fraction: \(\int \left(\frac{3x}{\sqrt{x+1}}+\frac{-x^{2}}{\sqrt{x+1}}\right) dx\) - step3: Calculate: \(\int \left(\frac{3x}{\sqrt{x+1}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}}\right) dx\) - step4: Use properties of integrals: \(\int \frac{3x}{\sqrt{x+1}} dx+\int -\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} dx\) - step5: Evaluate the integral: \(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-4\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}+\int -\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} dx\) - step6: Evaluate the integral: \(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-4\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}-2x^{2}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8\left(x+1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{8\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}\) - step7: Return the limits: \(\left(6x\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-4\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}-2x^{2}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{8\left(x+1\right)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{8\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}\right)\bigg |_{0}^{3}\) - step8: Calculate the value: \(\frac{44}{15}\) ### Resultados de los cálculos 1. **Área entre las curvas**: El área \( A \) entre las curvas \( y=\frac{x^{2}}{\sqrt{x+1}} \) y \( y=\frac{3x}{\sqrt{x+1}} \) en el intervalo \([0, 3]\) es: \[ A = \frac{44}{15} \quad \text{o aproximadamente} \quad 2.93 \] 2. **Valor promedio de la función**: El valor promedio \( \bar{f} \) de la función \( f(x) = \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \) en el intervalo \([0, 3]\) se calcula como: \[ \bar{f} = \frac{1}{3-0} \int_{0}^{3} \frac{3x}{\sqrt{x+1}} \, dx = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} \quad \text{o aproximadamente} \quad 2.67 \] ### Resumen - El área de la región limitada por las curvas es \( \frac{44}{15} \) o aproximadamente \( 2.93 \). - El valor promedio de la función en el intervalo \([0, 3]\) es \( \frac{8}{3} \) o aproximadamente \( 2.67 \).