Answer
**Exercice 1 :**
Déterminons l'ensemble de définition de chacune des fonctions données.
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**1) \( f(x) = \frac{-2x^{2} + 4x^{2} + 1}{3 - E(x)} \)**
*Simplification :*
\[
f(x) = \frac{2x^{2} + 1}{3 - E(x)}
\]
*Conditions :*
- \( 3 - E(x) \neq 0 \)
Si \( E(x) = e^{x} \), alors \( x \neq \ln(3) \).
*Ensemble de définition :*
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \ln(3) \}
\]
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**2) \( f(x) = \frac{\sqrt{1 - 4x^{2}}}{x} \)**
*Conditions :*
1. \( 1 - 4x^{2} \geq 0 \)
\( |x| \leq \frac{1}{2} \)
2. \( x \neq 0 \)
*Ensemble de définition :*
\[
\text{D}(f) = \left] -\frac{1}{2}, 0 \right[ \cup \left] 0, \frac{1}{2} \right[
\]
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**3) \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x+} \)**
*Supposition :* Si le dénominateur est \( x \), alors \( x \neq 0 \).
*Ensemble de définition :*
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
\]
*Si le dénominateur est \( x + a \), alors \( x \neq -a \).*
*Il est recommandé de vérifier l'expression exacte du dénominateur pour déterminer l'ensemble de définition correct.*
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Solution
**Exercice 1 :**
Déterminons l'ensemble de définition de chacune des fonctions données.
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**1) \( f(x) = \frac{-2x^{2} + 4x^{2} + 1}{3 - E(x)} \)**
*Simplification du numérateur :*
\[
-2x^{2} + 4x^{2} + 1 = 2x^{2} + 1
\]
Donc, la fonction devient :
\[
f(x) = \frac{2x^{2} + 1}{3 - E(x)}
\]
*Conditions pour l'ensemble de définition :*
- Le dénominateur ne doit pas être nul :
\[
3 - E(x) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad E(x) \neq 3
\]
*Conclusion :*
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ x \mid E(x) = 3 \}
\]
*Remarque :* \( E(x) \) représente une fonction donnée. Si \( E(x) \) est l'exponentielle, c'est-à-dire \( E(x) = e^{x} \), alors l'équation \( e^{x} = 3 \) a une solution unique \( x = \ln(3) \). Dans ce cas, l'ensemble de définition serait :
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \ln(3) \}
\]
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**2) \( f(x) = \frac{\sqrt{1 - 4x^{2}}}{x} \)**
*Conditions pour l'ensemble de définition :*
1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle :
\[
1 - 4x^{2} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^{2} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x^{2} \leq \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad |x| \leq \frac{1}{2}
\]
2. Le dénominateur ne doit pas être nul :
\[
x \neq 0
\]
*Conclusion :*
\[
\text{D}(f) = \left] -\frac{1}{2}, 0 \right[ \cup \left] 0, \frac{1}{2} \right[
\]
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**3) \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x+} \)**
*Remarque :* Il semble y avoir une erreur typographique dans l'expression du dénominateur \( x+ \). Supposons que le dénominateur soit \( x + a \), où \( a \) est une constante. Dans ce cas, la condition pour l'ensemble de définition serait \( x \neq -a \).
Cependant, si l'intention était d'écrire \( \frac{1}{x} \), alors le dénominateur est simplement \( x \).
*Supposition 1 : \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x + a} \)*
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -a \}
\]
*Supposition 2 : \( f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5x - \frac{1}{x} \)*
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
\]
*Conclusion :*
- **Si le dénominateur est \( x + a \) :**
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ -a \}
\]
- **Si le dénominateur est \( x \) :**
\[
\text{D}(f) = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
\]
*Il est recommandé de vérifier l'expression exacte du dénominateur pour déterminer l'ensemble de définition correct.*
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