Find \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{-1 / x} \sin (1 / x)-(x+2)^{3}\right) \) (if it exists) and give a careful argument showing that your answer is correct. The notation lim the uniqueness of limits. Prove that limits, if they exist, are indeed unique. That is, the suppose that \( f \) is a real valued function of a real variable, \( a \) is an accumulation point of the domain of \( f \), and \( \ell, m \in \mathbb{R} \). Prove that if \( f(x) \rightarrow \ell \) as \( x \rightarrow a \) and \( f(x) \rightarrow m \) as \( x \rightarrow a \), then \( l=m \). (Explain carefully why it was important that we require \( a \) to be an accumulation point of the domain of \( f \).) Let \( f(x)=\frac{\sin \pi x}{x+1} \) for all \( x \neq-1 \). The following information is known about a function \( g \) defined for all real numbers \( x \neq 1 \) : (i) \( g=\frac{p}{q} \) where \( p(x)=a x^{2}+b x+c \) and \( q(x)=d x+e \) for some constants \( a, b, c, d, e \); (ii) the only \( x \)-intercept of the curve \( y=g(x) \) occurs at the origin; (iii) \( g(x) \geq 0 \) on the interval \( [0,1) \) and is negative elsewhere on its domain; (iv) \( g \) has a vertical asymptote at \( x=1 \); and (v) \( g(1 / 2)=3 \). Either find lim \( g(x) f(x) \) or else show that this limit does not exist. Hints. Write an explicit formula for \( g \) by determining the constants \( a \ldots e \). Use (ii) to find \( c \); use (ii) and (iii) to find \( a \); use (iv) to find a relationship between \( d \) and \( e \); then use (v) to obtain an explicit form for \( g \). Finally look at \( f(x) g(x) \); replace sin \( \pi x \) by sin( \( (x(x-1)+\pi) \) and use the formula for the sine of the sum of two numbers.

Para resolver el límite \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{-1 / x} \sin (1 / x)-(x+2)^{3}\right) \), procederemos paso a paso. ### Paso 1: Evaluar \( e^{-1/x} \sin(1/x) \) cuando \( x \rightarrow 0^{+} \) 1. **Comportamiento de \( e^{-1/x} \)**: - Cuando \( x \) se aproxima a \( 0^{+} \), \( \frac{1}{x} \) tiende a \( +\infty \). - Por lo tanto, \( e^{-1/x} \) tiende a \( e^{-\infty} = 0 \). 2. **Comportamiento de \( \sin(1/x) \)**: - La función \( \sin(1/x) \) oscila entre -1 y 1 a medida que \( x \) se aproxima a \( 0^{+} \). 3. **Producto \( e^{-1/x} \sin(1/x) \)**: - Dado que \( e^{-1/x} \) tiende a \( 0 \) y \( \sin(1/x) \) está acotada, el producto \( e^{-1/x} \sin(1/x) \) también tiende a \( 0 \). ### Paso 2: Evaluar \( (x+2)^{3} \) cuando \( x \rightarrow 0^{+} \) - Cuando \( x \) se aproxima a \( 0^{+} \), \( (x+2)^{3} \) se aproxima a \( 2^{3} = 8 \). ### Paso 3: Evaluar el límite completo Ahora podemos evaluar el límite completo: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{-1 / x} \sin (1 / x)-(x+2)^{3}\right) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} e^{-1/x} \sin(1/x) - \lim _{x \rightarrow 0^{+}} (x+2)^{3} \] Sustituyendo los límites que hemos encontrado: \[ = 0 - 8 = -8 \] Por lo tanto, el límite existe y es: \[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{-1 / x} \sin (1 / x)-(x+2)^{3}\right) = -8 \] ### Argumento sobre la unicidad de los límites Para demostrar que los límites, si existen, son únicos, consideremos la siguiente situación: Supongamos que \( f(x) \) es una función real de una variable real, \( a \) es un punto de acumulación del dominio de \( f \), y que \( \ell, m \in \mathbb{R} \). Si \( f(x) \rightarrow \ell \) cuando \( x \rightarrow a \) y \( f(x) \rightarrow m \) cuando \( x \rightarrow a \), debemos demostrar que \( \ell = m \). **Demostración**: 1. Por la definición de límite, para cualquier \( \epsilon > 0 \), existe un \( \delta_1 > 0 \) tal que si \( 0 < |x - a| < \delta_1 \), entonces \( |f(x) - \ell| < \epsilon \). 2. De manera similar, existe un \( \delta_2 > 0 \) tal que si \( 0 < |x - a| < \delta_2 \), entonces \( |f(x) - m| < \epsilon \). 3. Sea \( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) \). Entonces, para \( 0 < |x - a| < \delta \), tenemos: \[ |f(x) - \ell| < \epsilon \quad \text{y} \quad |f(x) - m| < \epsilon \] 4. Por la desigualdad triangular, podemos escribir: \[ |m - \ell| = |m - f(x) + f(x) - \ell| \leq |m - f(x)| + |f(x) - \ell| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon \] 5. Como esto es cierto para cualquier \( \epsilon > 0 \), podemos concluir que \( |m - \ell| = 0 \), lo que implica que \( m = \ell \). **Importancia de que \( a \) sea un punto de acumulación**: Es crucial que \( a \) sea un punto de acumulación porque garantiza que hay puntos \( x \) arbitrariamente cercanos a \( a \) en el dominio de \( f \). Si \( a \) no fuera un punto de acumulación, podríamos tener un comportamiento diferente de \( f(x) \) en \( a \) que no se reflejaría en los límites. ### Determinación de \( g(x) \) Ahora, para encontrar \( g(x) \), utilizaremos la información proporcionada: 1. **Intercepto en el origen**: Esto implica que \( p(0) = 0 \), por lo que \( c = 0 \). 2. **\( g(x) \geq 0 \) en \( [0,1) \)**: Esto implica que el numerador \( p(x) \) debe ser no negativo en este intervalo. Dado que el único intercepto es en el origen, \( p(x) \) debe ser de la forma \( ax^2 + bx \) con \( a > 0 \). 3. **Asintota vertical en \( x = 1 \)**: Esto implica que \( q(1) = d + e = 0 \), por lo que \( e = -d \). 4. **Valor en \( g(1/2) = 3 \)**: Esto nos da la ecuación: \[ g(1/2) = \frac{p(1/2)}{q(1/2)} = 3 \] Sustituyendo \( p(x) \) y \( q(x) \): \[ \frac{a(1/2)^2 + b(1/2)}{d(1/2) + e} = 3 \] Resolviendo estas ecuaciones, podemos determinar los valores de \( a, b, d, e \). Finalmente, una vez que tengamos \( g(x) \), podemos evaluar el límite \( \lim_{x \to a} g(x) f(x) \) utilizando la información de \( f(x) \) y \( g(x) \).