\[ \int_{0}^{+\infty} a x^{2} \mathrm{e}^{-a x} d x \] con \( a>0 \), determinare quale termine conviene utilizzare applicando il metodo di sostituzione di variabile. \( \mathrm{A}=a \) \( \mathrm{~B}=a x \) \( \mathrm{C}=a x^{2} \) \( \mathrm{D}=x / a \)

Per risolvere l'integrale \[ \int_{0}^{+\infty} a x^{2} \mathrm{e}^{-a x} d x \] con \( a > 0 \), è utile applicare una sostituzione di variabile che semplifichi l'esponenziale e il polinomio presente nell'integrando. Consideriamo le opzioni proposte: - **A) \( A = a \)**: Questa scelta non modifica la variabile di integrazione e non semplifica l'integrale. - **B) \( B = a x \)**: Impostando \( u = a x \), otteniamo \( x = \frac{u}{a} \) e \( dx = \frac{du}{a} \). Sostituendo nell'integrale: \[ \int_{0}^{+\infty} a \left(\frac{u}{a}\right)^{2} \mathrm{e}^{-u} \cdot \frac{du}{a} = \int_{0}^{+\infty} \frac{u^{2}}{a^{2}} \mathrm{e}^{-u} du \] Questo rende l'integrale molto più semplice da calcolare, in quanto si riduce a una forma che può essere espressa tramite la funzione Gamma. - **C) \( C = a x^{2} \)**: Questa scelta porta a una sostituzione meno utile, poiché introducendo \( u = a x^{2} \) otteniamo \( du = 2a x \, dx \), complicando ulteriormente l'integrale. - **D) \( D = \frac{x}{a} \)**: Sostituendo \( u = \frac{x}{a} \), otteniamo \( x = a u \) e \( dx = a \, du \). L'integrale diventa: \[ \int_{0}^{+\infty} a (a u)^{2} \mathrm{e}^{-a^2 u} a \, du = a^{4} \int_{0}^{+\infty} u^{2} \mathrm{e}^{-a^2 u} du \] Questa forma è più complessa rispetto alla scelta \( B \). Pertanto, la scelta più conveniente è **B) \( B = a x \)**, poiché semplifica l'integrale rendendolo più facile da calcolare. **Risposta:** **B) \( a x \)**