Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через дві задані точки $$ A(2 ; 5) $$ і $$ B(-4 ;-3) $$ та складіть рівняння прямої що проходить через одну з цих точок і буде перпендикулярною до прямої $$ l_{A B} $$. Зробіть малюнок.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы решить задачу, последуем следующим шагам:

### 1. Найдём угловой коэффициент прямой $$ AB $$:

Даны точки $$ A(2; 5) $$ и $$ B(-4; -3) $$.

Формула для нахождения углового коэффициента $$ k $$ прямой, проходящей через две точки $$ (x_1, y_1) $$ и $$ (x_2, y_2) $$:

$$
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

Подставим координаты точек $$ A $$ и $$ B $$:

$$
k_{AB} = \frac{-3 - 5}{-4 - 2} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}
$$

Таким образом, угловой коэффициент прямой $$ AB $$ равен $$ \frac{4}{3} $$.

### 2. Найдём угловой коэффициент перпендикулярной прямой:

Угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых связаны следующим образом:

$$
k_{\perp} = -\frac{1}{k}
$$

Подставим значение $$ k_{AB} $$:

$$
k_{\perp} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}
$$

### 3. Составим уравнение перпендикулярной прямой:

Возьмём точку $$ A(2; 5) $$. Используем точку-угловой коэффициент форму уравнения прямой:

$$
y - y_1 = k_{\perp} (x - x_1)
$$

Подставляем значения:

$$
y - 5 = -\frac{3}{4} (x - 2)
$$

Раскрываем скобки и приводим к общему виду:

$$
y - 5 = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2}
$$

$$
y = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} + 5
$$

$$
y = -\frac{3}{4}x + \frac{13}{2}
$$

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку $$ A $$:

$$
y = -\frac{3}{4}x + \frac{13}{2}
$$

### 4. Графическое представление:

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, но могу описать, как его построить:

1. **Построение прямой $$ AB $$:**
   - Отложите точки $$ A(2; 5) $$ и $$ B(-4; -3) $$ на декартовой плоскости.
   - Соедините их прямой. Угловой коэффициент этой прямой составляет $$ \frac{4}{3} $$.

2. **Построение перпендикулярной прямой:**
   - Выберите точку $$ A(2; 5) $$ или $$ B(-4; -3) $$ для построения новой прямой.
   - Используя угловой коэффициент $$ -\frac{3}{4} $$, построьте прямую, которая будет перпендикулярна к $$ AB $$ и проходит через выбранную точку.

Вот пример графического представления:

```
Y
|
|          A(2;5)
|         /
|        /  
|       / 
|      / 
|-----*----------- X
|    / 
|   / 
|  /
| B(-4;-3)
|
```

В данном рисунке прямая $$ AB $$ имеет положительный наклон, а перпендикулярная к ней прямая будет иметь отрицательный наклон.
Чтобы найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $$ A(2; 5) $$ и $$ B(-4; -3) $$, используем формулу: $$ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 5}{-4 - 2} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} $$ Угловой коэффициент прямой $$ AB $$ равен $$ \frac{4}{3} $$. Для перпендикулярной прямой угловой коэффициент будет: $$ k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{3}{4} $$ Уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через точку $$ A(2; 5) $$, будет: $$ y = -\frac{3}{4}x + \frac{13}{2} $$ Графически, прямая $$ AB $$ имеет положительный наклон, а перпендикулярная к ней прямая будет иметь отрицательный наклон.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions