În $$ \mathbf{R}^{4} $$ se consideră baza $$ F=\left\{f_{1}=(1,-1,0,0), f_{2}=(1,1,0,0), f_{3}=(0,0,1,1), f_{4}=(0,0,-1,1)\right\} $$. Să se determine duala bazei $$ F $$ şi coordonatele vectorului $$ w=(0,-2,5,-1) $$ în raport cu baza $$ F $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a determina duala bazei $$ F $$ în $$ \mathbf{R}^4 $$ și coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în raport cu baza $$ F $$, vom urma pașii de mai jos.

### 1. Determinarea dualei bazei $$ F $$

Baza $$ F $$ este dată de:
$$
F = \left\{ 
f_{1} = (1, -1, 0, 0), \ 
f_{2} = (1, 1, 0, 0), \ 
f_{3} = (0, 0, 1, 1), \ 
f_{4} = (0, 0, -1, 1) 
\right\}
$$

Duala bazei $$ F^* = \{\varphi^1, \varphi^2, \varphi^3, \varphi^4\} $$ este formată din funcționale liniare astfel încât:
$$
\varphi^i(f_j) = \delta_{ij}, \quad \text{pentru orice } i, j = 1, 2, 3, 4
$$
unde $$ \delta_{ij} $$ este simbolul lui Kronecker.

Pentru a obține duala bazei, construim matricea $$ F $$ cu vectorii bazei ca și coloane și apoi calculăm inversa acesteia. Duala bazei este dată de rândurile matricei inversate $$ F^{-1} $$.

Matricea $$ F $$ este:
$$
F = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \
-1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & -1 \
0 & 0 & 1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Observăm că $$ F $$ poate fi descompusă în blocuri diagonale, astfel:
$$
F = \begin{pmatrix}
A & 0 \
0 & B \
\end{pmatrix}
$$
unde
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \
-1 & 1 \
\end{pmatrix}, \quad 
B = \begin{pmatrix}
1 & -1 \
1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Calculăm inversa fiecărui bloc:
$$
A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & -1 \
1 & 1 \
\end{pmatrix}, \quad 
B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 \
-1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Astfel, inversa matricei $$ F $$ este:
$$
F^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
\end{pmatrix}
$$

Duala bazei $$ F^* $$ este formată din rândurile lui $$ F^{-1} $$:
$$
F^* = \left\{
\varphi^1 = \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2, \quad
\varphi^2 = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2, \quad
\varphi^3 = \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4, \quad
\varphi^4 = -\frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4
\right\}
$$

### 2. Determinarea coordonatelor vectorului $$ w $$ în raport cu baza $$ F $$

Pentru a găsi coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în baza $$ F $$, resolvăm ecuația:
$$
w = a_1 f_1 + a_2 f_2 + a_3 f_3 + a_4 f_4
$$
Aceasta se poate scrie sub forma matriceală:
$$
F \cdot 
\begin{pmatrix}
a_1 \
a_2 \
a_3 \
a_4 \
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
0 \
-2 \
5 \
-1 \
\end{pmatrix}
$$

Pentru a găsi vectorul de coordonate $$ (a_1, a_2, a_3, a_4) $$, calculăm produsul $$ F^{-1} w $$:
$$
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0 \
-2 \
5 \
-1 \
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \
-1 \
2 \
-3 \
\end{pmatrix}
$$

Deci, coordonatele vectorului $$ w $$ în baza $$ F $$ sunt $$ (1, -1, 2, -3) $$.

### **Răspuns Final:**

Duala bazei $$ F $$ este
$$
F^* = \left\{
\varphi^1 = \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2, \ 
\varphi^2 = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2, \ 
\varphi^3 = \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4, \ 
\varphi^4 = -\frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4 
\right\}
$$
iar coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în raport cu baza $$ F $$ sunt $$ (1, -1, 2, -3) $$.
Duala bazei $$ F $$ este: $$ \varphi^1 = \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}x_2, \quad \varphi^2 = \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2, \quad \varphi^3 = \frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4, \quad \varphi^4 = -\frac{1}{2}x_3 + \frac{1}{2}x_4 $$ Coordonatele vectorului $$ w = (0, -2, 5, -1) $$ în baza $$ F $$ sunt $$ (1, -1, 2, -3) $$.

În \( \mathbf{R}^{4} \) se consideră baza \( F=\left\{f_{1}=(1,-1,0,0), f_{2}=(1,1,0,0), f_{3}=(0,0,1,1), f_{4}=(0,0,-1,1)\right\} \). Să se determine duala bazei \( F \) şi coordonatele vectorului \( w=(0,-2,5,-1) \) în raport cu baza \( F \).

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions