13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 pies/s a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 pies del poste?

Para resolver este problema, utilizaremos conceptos de geometría y derivadas relacionadas. **Datos del problema:** - Altura del poste: 15 pies. - Altura del hombre: 6 pies. - Velocidad a la que el hombre se aleja del poste: 5 pies/s. - Distancia del hombre al poste en el momento considerado: 40 pies. **Paso 1: Relación geométrica** Consideremos: - \( x \): distancia del hombre al poste. - \( y \): distancia desde el poste hasta la punta de la sombra. Usando triángulos similares, la relación entre las alturas y las distancias es: \[ \frac{15}{y} = \frac{6}{y - x} \] **Paso 2: Resolución de la ecuación** Multiplicamos cruzado: \[ 15(y - x) = 6y \] Expandimos: \[ 15y - 15x = 6y \] Reorganizamos términos: \[ 15y - 6y = 15x \\ 9y = 15x \\ y = \frac{15}{9}x = \frac{5}{3}x \] **Paso 3: Derivación respecto al tiempo** Derivamos ambos lados con respecto al tiempo \( t \): \[ \frac{dy}{dt} = \frac{5}{3} \frac{dx}{dt} \] Dado que \( \frac{dx}{dt} = 5 \) pies/s: \[ \frac{dy}{dt} = \frac{5}{3} \times 5 = \frac{25}{3} \ \text{pies/s} \] **Conclusión:** Cuando el hombre está a 40 pies del poste, la punta de su sombra se desplaza a una velocidad de \( \frac{25}{3} \) pies por segundo, es decir, aproximadamente 8.33 pies/s.