Indique cuál o cuáles de las siguientes propo- siciones es (son) verdadera(s). \( (\forall a, b \in \mathbb{R}) \) I. \( \quad \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|} \) II. \( 2|a|-3|b| \geq-5|b| \) III. \( |a-b| \leq|a+b| \) IV. \( |a-b| \leq 2|a+b| \)

Para determinar cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, vamos a analizar cada una de ellas: I. \( \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|} \) Esta proposición es verdadera siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. Esto se debe a que la función \( \frac{x}{|x|} \) es una función que toma el signo de \( x \) y lo devuelve. Por lo tanto, si \( a \) y \( b \) tienen el mismo signo, entonces \( \frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|} \) será verdadero. II. \( 2|a|-3|b| \geq-5|b| \) Esta proposición es verdadera siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. Al simplificar la desigualdad, obtenemos \( 2|a| \geq 2|b| \), lo cual es verdadero siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. III. \( |a-b| \leq|a+b| \) Esta proposición es verdadera siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. Esto se debe a que la diferencia entre dos números es siempre menor o igual a la suma de los mismos. IV. \( |a-b| \leq 2|a+b| \) Esta proposición es verdadera siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. Al simplificar la desigualdad, obtenemos \( |a-b| \leq 2|a+b| \), lo cual es verdadero siempre que \( a \) y \( b \) sean números reales. Por lo tanto, todas las proposiciones I, II, III y IV son verdaderas.