On considère la fonction \( f \) définie de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=\frac{|x|-2}{x+2} \). Détermine les restrictions de \( f \) à \( \mathbb{R}^{+} \)et à \( \mathbb{R} \backslash\{-2 \)

Pour déterminer les restrictions de la fonction \( f(x)=\frac{|x|-2}{x+2} \), analysons d'abord la fonction sur l'intervalle \( \mathbb{R}^{+} \). Sur \( \mathbb{R}^{+} \) (c'est-à-dire \( x \geq 0 \)), \( |x| = x \). Donc, la fonction devient : \[ f(x) = \frac{x-2}{x+2}. \] Cette fonction est définie pour tout \( x \geq 0 \), à l'exception du point où \( x + 2 = 0 \), ce qui ne se produit pas sur \( \mathbb{R}^{+} \). Ainsi, la restriction de \( f \) à \( \mathbb{R}^{+} \) est : \[ f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{x-2}{x+2} \text{ pour } x \geq 0. \] Pour la restriction de \( f \) à \( \mathbb{R} \backslash \{-2\} \), la fonction est définie pour tous les \( x \in \mathbb{R} \) sauf \( x = -2 \). Donc, dans cet intervalle, \( f(x) \) prend la forme : - Pour \( x < 0 \), \( |x| = -x \), alors : \[ f(x) = \frac{-x-2}{x+2} = \frac{-(x+2)}{x+2} = -1 \text{ (pour } x \neq -2\text{)}. \] - Pour \( x > 0 \), nous avons déjà vu que \( f(x) = \frac{x-2}{x+2} \). Ainsi, la restriction de \( f \) à \( \mathbb{R} \backslash \{-2\} \) est : \[ f : \mathbb{R} \backslash \{-2\} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-2}{x+2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}. \]