Hallar la denivada $$ f(5)=\frac{(5+4)^{2}}{5+3} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para hallar la derivada de la función $$ f(x) = \frac{(x + 4)^2}{x + 3} $$ y luego evaluarla en $$ x = 5 $$, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Aplicar la Regla del Cociente
La regla del cociente establece que si tienes una función $$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$, su derivada es:

$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$

En este caso:
- $$ u(x) = (x + 4)^2 $$
- $$ v(x) = x + 3 $$

### 2. Calcular las Derivadas de $$ u(x) $$ y $$ v(x) $$

- **Derivada de $$ u(x) $$:**
$$
u'(x) = \frac{d}{dx} (x + 4)^2 = 2(x + 4)
$$

- **Derivada de $$ v(x) $$:**
$$
v'(x) = \frac{d}{dx} (x + 3) = 1
$$

### 3. Aplicar la Regla del Cociente

Sustituyendo en la fórmula de la regla del cociente:

$$
f'(x) = \frac{2(x + 4)(x + 3) - (x + 4)^2 \cdot 1}{(x + 3)^2}
$$

### 4. Simplificar la Expresión

Factorizamos $$ (x + 4) $$ en el numerador:

$$
f'(x) = \frac{(x + 4) \left[2(x + 3) - (x + 4)\right]}{(x + 3)^2}
$$

Simplificando dentro del corchete:

$$
2(x + 3) - (x + 4) = 2x + 6 - x - 4 = x + 2
$$

Entonces, la derivada simplificada es:

$$
f'(x) = \frac{(x + 4)(x + 2)}{(x + 3)^2}
$$

### 5. Evaluar en $$ x = 5 $$

Sustituyendo $$ x = 5 $$ en la derivada:

$$
f'(5) = \frac{(5 + 4)(5 + 2)}{(5 + 3)^2} = \frac{9 \cdot 7}{8^2} = \frac{63}{64}
$$

### Resultado Final

La derivada de la función evaluada en $$ x = 5 $$ es:

$$
f'(5) = \frac{63}{64}
$$
La derivada de la función en $$ x = 5 $$ es $$ \frac{63}{64} $$.

Hallar la denivada \( f(5)=\frac{(5+4)^{2}}{5+3} \)