Università degli Studi di Bergamo - Scuola di Ingegneria Test OFA di Matematica - versione D 9 gennaio 2025 v.D Cognome $$ \qquad $$ Axenday; Nome $$ \qquad $$ Precious N. Matr. $$ \qquad $$ 1. La retta passante per il punto $$ A(-2 ;-1) $$ e perpendicolare alla retta di equazione $$ 3 x-2 y+1=0 $$ ha equazione: D (A) $$ 3 x+2 y+8=0 $$ (B) $$ 2 x+3 y+7=0 $$ (C) $$ 2 x-3 y+1=0 $$ (D) $$ 3 x-2 y+4=0 $$ 2. La soluzione della disequazione irrazionale $$ \sqrt{x^{2}-1} \geqslant x-1 $$ è: (B) (A) $$ x \leqslant-1 $$ o $$ x \geqslant 1 $$ (B) $$ x \geqslant 1 $$ (C) ogni $$ x \in \mathbb{R} $$ (D) nessuna 3. La soluzione dell'equazione $$ \left|4-x^{2}\right|-3 x=2+x^{2} $$ è (A) $$ x=-2, x=-\frac{1}{2} $$ o $$ x=2 $$ (B) $$ x=-2 $$ o $$ x=\frac{1}{2} $$ (C) $$ x=-\frac{1}{2} $$ o $$ x=2 $$ (D) $$ x=\frac{1}{2} $$ 4. La soluzione della disequazione $$ \frac{x+1}{x^{2}+4 x+4}

Question

Università degli Studi di Bergamo - Scuola di Ingegneria Test OFA di Matematica - versione D 9 gennaio 2025 v.D Cognome $$ \qquad $$ Axenday; Nome $$ \qquad $$ Precious N. Matr. $$ \qquad $$ 1. La retta passante per il punto $$ A(-2 ;-1) $$ e perpendicolare alla retta di equazione $$ 3 x-2 y+1=0 $$ ha equazione: D (A) $$ 3 x+2 y+8=0 $$ (B) $$ 2 x+3 y+7=0 $$ (C) $$ 2 x-3 y+1=0 $$ (D) $$ 3 x-2 y+4=0 $$ 2. La soluzione della disequazione irrazionale $$ \sqrt{x^{2}-1} \geqslant x-1 $$ è: (B) (A) $$ x \leqslant-1 $$ o $$ x \geqslant 1 $$ (B) $$ x \geqslant 1 $$ (C) ogni $$ x \in \mathbb{R} $$ (D) nessuna 3. La soluzione dell'equazione $$ \left|4-x^{2}\right|-3 x=2+x^{2} $$ è (A) $$ x=-2, x=-\frac{1}{2} $$ o $$ x=2 $$ (B) $$ x=-2 $$ o $$ x=\frac{1}{2} $$ (C) $$ x=-\frac{1}{2} $$ o $$ x=2 $$ (D) $$ x=\frac{1}{2} $$ 4. La soluzione della disequazione $$ \frac{x+1}{x^{2}+4 x+4}<0 $$ è: (A) $$ -2-1 $$ 5. La soluzione della disequazione $$ 4^{x}-7 \cdot 2^{x}+12<0 $$ è: (A) $$ 32 $$ (C) $$ x<2 $$ (D) $$ \log _{2} 3

UpStudy AI · Accepted Answer

Ciao Precious, Di seguito trovi la verifica delle risposte fornite per il test di Matematica. Esaminerò ogni domanda, confermando se la risposta selezionata è corretta e fornendo una breve spiegazione per ciascuna. --- ### Domanda 1 **Enunciato:** La retta passante per il punto $$ A(-2 ;-1) $$ e perpendicolare alla retta di equazione $$ 3x - 2y + 1 = 0 $$ ha equazione: **Risposta Fornita:** D **(D) $$ 3x - 2y + 4 = 0 $$** **Verifica:** Una retta perpendicolare a $$ 3x - 2y + 1 = 0 $$ avrà lo stesso coefficiente angolare, quindi anche $$ 3x - 2y + C = 0 $$. Sostituendo il punto $$ A(-2, -1) $$: $$ 3(-2) - 2(-1) + C = 0 \Rightarrow -6 + 2 + C = 0 \Rightarrow C = 4 $$ Quindi, l'equazione corretta è $$ 3x - 2y + 4 = 0 $$. **Conclusione:** Corretta. --- ### Domanda 2 **Enunciato:** La soluzione della disequazione irrazionale $$ \sqrt{x^{2} - 1} \geqslant x - 1 $$ è: **Risposta Fornita:** B **(B) $$ x \geqslant 1 $$** **Verifica:** Per risolvere $$ \sqrt{x^{2} - 1} \geq x - 1 $$, consideriamo il dominio $$ x^{2} - 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 $$ o $$ x \geq 1 $$. Analizziamo per $$ x \geq 1 $$: $$ \sqrt{x^{2} - 1} \geq x - 1 $$ Elevando al quadrato (valido poiché entrambi i lati sono positivi): $$ x^{2} - 1 \geq (x - 1)^2 \Rightarrow x^{2} - 1 \geq x^{2} - 2x + 1 \Rightarrow -1 \geq -2x + 1 \Rightarrow -2 \geq -2x \Rightarrow x \geq 1 $$ Per $$ x \leq -1 $$, ad esempio $$ x = -2 $$: $$ \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \geq -2 -1 \Rightarrow \sqrt{3} \geq -3 \quad \text{(vero)} $$ Tuttavia, valutando $$ x = -1 $$: $$ \sqrt{1 - 1} = 0 \geq -1 -1 \Rightarrow 0 \geq -2 \quad \text{(vero)} $$ Quindi la soluzione completa è $$ x \leq -1 $$ o $$ x \geq 1 $$. La risposta B è parziale. **Conclusione:** **Errata.** La risposta corretta è (A) $$ x \leq -1 $$ o $$ x \geq 1 $$. --- ### Domanda 3 **Enunciato:** La soluzione dell'equazione $$ \left|4 - x^{2}\right| - 3x = 2 + x^{2} $$ è: **Risposta Fornita:** A **(A) $$ x = -2, x = -\frac{1}{2} $$ o $$ x = 2 $$** **Verifica:** Semplifichiamo l'equazione: $$ \left|4 - x^{2}\right| = 2 + x^{2} + 3x $$ Consideriamo i casi: 1. **Caso 1:** $$ 4 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow |4 - x^{2}| = 4 - x^{2} $$ $$ 4 - x^{2} = 2 + x^{2} + 3x \Rightarrow -2x^{2} - 3x + 2 = 0 \Rightarrow 2x^{2} + 3x - 2 = 0 $$ Soluzioni: $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \text{ oppure } x = \frac{-8}{4} = -2 $$ Verifichiamo che $$ 4 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{15}{4} \geq 0 $$, quindi $$ x = \frac{1}{2} $$ è valida. 2. **Caso 2:** $$ 4 - x^{2} < 0 \Rightarrow |4 - x^{2}| = x^{2} - 4 $$ $$ x^{2} - 4 = 2 + x^{2} + 3x \Rightarrow -4 = 2 + 3x \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2 $$ Verifichiamo $$ 4 - (-2)^2 = 0 $$, che non soddisfa l'inequazione iniziale $$ <0 $$. Quindi, solo $$ x = \frac{1}{2} $$. **Conclusione:** La risposta corretta è (C) $$ x = -\frac{1}{2} $$ o $$ x = 2 $$. La risposta marcata (A) è errata. --- ### Domanda 4 **Enunciato:** La soluzione della disequazione $$ \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + 4} < 0 $$ è: **Risposta Fornita:** A **(A) $$ -2 < x < -1 $$** **Verifica:** Facciamo il denominatore: $$ x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^2 \geq 0 \quad \forall x $$ Il denominatore è sempre positivo eccetto in $$ x = -2 $$, dove è zero. La disequazione diventa: $$ x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1 $$ Considerando che $$ x \neq -2 $$. Quindi la soluzione è $$ x < -1 $$ con $$ x \neq -2 $$. **Conclusione:** La risposta corretta è (C) $$ x < -1 $$ con $$ x \neq -2 $$. La risposta marcata (A) è parziale. --- ### Domanda 5 **Enunciato:** La soluzione della disequazione $$ 4^{x} - 7 \cdot 2^{x} + 12 < 0 $$ è: **Risposta Fornita:** B **(B) $$ x < \log_{2} 3 $$ o $$ x > 2 $$** **Verifica:** Sostituiamo $$ y = 2^x $$, quindi $$ 4^x = y^2 $$: $$ y^2 - 7y + 12 < 0 $$ Risolviamo l'equazione associata: $$ y^2 - 7y + 12 = 0 \Rightarrow y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow y = 4 \text{ o } y = 3 $$ La disuguaglianza $$ y^2 - 7y + 12 < 0 $$ è vera per $$ 3 < y < 4 $$. Tornando a $$ x $$: $$ 3 < 2^x < 4 \Rightarrow \log_{2}3 < x < 2 $$ Quindi la soluzione è $$ \log_{2} 3 < x < 2 $$. **Conclusione:** La risposta corretta è (D) $$ \log_{2}3 < x < 2 $$. La risposta marcata (B) è errata. --- ### Domanda 6 **Enunciato:** La soluzione dell'equazione $$ \frac{\log(1 + 8x)}{\log(3x)} = 2 $$ è: **Risposta Fornita:** A **(A) $$ x = -\frac{1}{9}, x = 1 $$** **Verifica:** L'equazione è: $$ \frac{\log(1 + 8x)}{\log(3x)} = 2 \Rightarrow \log(1 + 8x) = 2\log(3x) \Rightarrow \log(1 + 8x) = \log((3x)^2) = \log(9x^2) $$ Quindi: $$ 1 + 8x = 9x^2 \Rightarrow 9x^2 - 8x - 1 = 0 $$ Soluzioni: $$ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{18} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{18} = \frac{8 \pm 10}{18} $$ $$ x = \frac{18}{18} = 1 \quad \text{e} \quad x = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9} $$ Verifichiamo le soluzioni nel dominio dell'equazione originale: - $$ x = 1 $$: $$ \log(9) / \log(3) = 2 \quad \text{(vero)} $$ - $$ x = -\frac{1}{9} $$: $$ 1 + 8(-\frac{1}{9}) = \frac{1}{9} > 0 \quad \text{e} \quad 3(-\frac{1}{9}) = -\frac{1}{3} \quad \text{(il logaritmo di un numero negativo non è definito)} $$ Quindi, solo $$ x = 1 $$ è valida. **Conclusione:** La risposta corretta è (C) $$ x = 1 $$. La risposta marcata (A) contiene una soluzione non valida. --- ### Domanda 7 **Enunciato:** La soluzione della disequazione $$ x^{30} \leqslant -1 $$ è: **Risposta Fornita:** Non indicata, ma presumibilmente (D) nessuna. **Verifica:** Per ogni $$ x \in \mathbb{R} $$, $$ x^{30} $$ è sempre non negativo perché esponente pari. Quindi non esistono reali $$ x $$ tali che $$ x^{30} \leq -1 $$. **Conclusione:** La risposta corretta è (D) nessuna. --- ### Domanda 8 **Enunciato:** Semplificando l'espressione $$ \sqrt{4x^{6} + 4x^{4} + x^{2}} $$, con $$ x \in \mathbb{R} $$, si ottiene: **Risposta Fornita:** Non fornita. **Soluzione:** Raccogliamo $$ x^2 $$: $$ \sqrt{4x^{6} + 4x^{4} + x^{2}} = \sqrt{x^2(4x^4 + 4x^2 + 1)} = |x|\sqrt{4x^4 + 4x^2 + 1} $$ Osserviamo che: $$ 4x^4 + 4x^2 + 1 = (2x^2 + 1)^2 $$ Quindi: $$ |x|\sqrt{(2x^2 + 1)^2} = |x|(2x^2 + 1) $$ **Conclusione:** La risposta corretta è (B) $$ |x|\left(2x^{2} + 1\right) $$. --- ### Domanda 9 **Enunciato:** La soluzione dell'equazione $$ \sin^{2}x + 2\sin x = 0 $$ nell'intervallo $$ [0; 2\pi) $$ è: **Risposta Fornita:** Non fornita. **Soluzione:** Risolviamo l'equazione: $$ \sin^{2}x + 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x (\sin x + 2) = 0 $$ Quindi: $$ \sin x = 0 \quad \text{oppure} \quad \sin x = -2 $$ $$ \sin x = -2 $$ non ha soluzioni reali, quindi: $$ \sin x = 0 \Rightarrow x = 0, \pi, 2\pi \Rightarrow x = 0, \pi \quad (\text{nell'intervallo } [0; 2\pi)) $$ **Conclusione:** La risposta corretta è (C) $$ x = 0, \pi $$. --- ### Domanda 10 **Enunciato:** Il grafico della funzione $$ y = -\sqrt[3]{x^{5}} $$ è: **Risposta Fornita:** Non fornita. **Soluzione:** La funzione $$ y = -\sqrt[3]{x^{5}} $$ può essere riscritta come $$ y = -x^{5/3} $$. Esaminiamo il comportamento: - **Dominio:** $$ \mathbb{R} $$ - **Simmetria:** Dispari (simmetria rispetto all'origine) - **Comportamento asintotico:** Cresce all'infinito per $$ x \to -\infty $$ e decresce verso $$-\infty$$ per $$ x \to +\infty $$. Il grafico avrà un aspetto simile a $$ y = -x^{5/3} $$, che è una curva non lineare con simmetria dispari. **Conclusione:** Senza le opzioni grafiche, non posso indicare quale opzione sia corretta. Tuttavia, la descrizione del grafico dovrebbe corrispondere a una curva che passa attraverso l'origine, con comportamento dispari e flessione conforme a $$ y = -x^{5/3} $$. --- Spero che queste verifiche ti siano state utili! Se hai altre domande o necessiti di ulteriori chiarimenti, non esitare a chiedere. failed to answer the question

Real Tutor Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions