4. Determine los valores propios $$ y $$ vectores propios de la matriz $$ \mathbb{A} $$ dada por $$ \mathbb{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 4 & -4 & 5\end{array}\right] $$ Además, para cada valor propio $$ \lambda $$ de $$ \mathbb{A} $$ verifique que la siguiente igualdad se cumple $$ \mathbb{A} x=\lambda x $$ Para ello, tome en particular a un vector propio $$ x $$ de $$ \mathbb{A} $$ asociado al valor propio $$ \lambda $$.

Question

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Para resolver este problema, primero calculamos los valores propios de la matriz $$ \mathbb{A} $$. Esto se hace mediante la resolución de la ecuación característica $$ \det(\mathbb{A} - \lambda \mathbb{I}) = 0 $$, donde $$ \mathbb{I} $$ es la matriz identidad.

La matriz $$ \mathbb{A} $$ es:
$$ \mathbb{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 4 & -4 & 5\end{array}\right] $$

Para encontrar los valores propios, calculamos el determinante de $$ \mathbb{A} - \lambda \mathbb{I} $$:
$$ \mathbb{A} - \lambda \mathbb{I} = \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & -1 \ 1 & -\lambda & 1 \ 4 & -4 & 5-\lambda\end{array}\right] $$

El determinante de esta matriz es:
$$ \det(\mathbb{A} - \lambda \mathbb{I}) = (1-\lambda)\left[(-\lambda)(5-\lambda) - 4\right] - 2\left[1(5-\lambda) - 4\right] + (-1)\left[1(-\lambda) - 4\right] $$
$$ = (1-\lambda)(-\lambda^2 + 5\lambda - 4) - 2(5-\lambda - 4) + (-1)(-\lambda - 4) $$
$$ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 9\lambda + 4 + 2\lambda - 2 + \lambda + 4 $$
$$ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 $$

Para encontrar los valores propios, resolvemos la ecuación:
$$ -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 = 0 $$

Podemos factorizar esta ecuación para encontrar los valores propios. Primero, intentamos encontrar un valor propio trivial, como $$ \lambda = 1 $$:
$$ -1^3 + 6 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 6 = 0 $$
$$ -1 + 6 - 6 + 6 = 0 $$
$$ 5 = 0 $$
Esto no es cierto, por lo que $$ \lambda = 1 $$ no es un valor propio.

Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, $$ \lambda = 2 $$:
$$ -2^3 + 6 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 6 = 0 $$
$$ -8 + 24 - 12 + 6 = 0 $$
$$ 10 = 0 $$
Esto no es cierto, por lo que $$ \lambda = 2 $$ no es un valor propio.

Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, $$ \lambda = 3 $$:
$$ -3^3 + 6 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 0 $$
$$ -27 + 54 - 18 + 6 = 0 $$
$$ 15 = 0 $$
Esto no es cierto, por lo que $$ \lambda = 3 $$ no es un valor propio.

Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, $$ \lambda = 4 $$:
$$ -4^3 + 6 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 + 6 = 0 $$
$$ -64 + 96 - 24 + 6 = 0 $$
$$ 14 = 0 $$
Esto no es cierto, por lo que $$ \lambda = 4 $$ no es un valor propio.

Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, $$ \lambda = 5 $$:
$$ -5^3 + 6 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 6 = 0 $$
$$ -125 + 150 - 30 + 6 = 0 $$
$$ 1 = 0 $$
Esto no es cierto, por lo que $$ \lambda = 5 $$ no es un valor propio.

Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, $$ \lambda = 6 $$:
$$ -6^3 + 6 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 6 = 0 $$
$$ -216 + 216 - 36 + 6 = 0 $$
$$ -24 = 0 $$
Esto no es cierto
Para encontrar los valores propios de la matriz $$ \mathbb{A} $$, se resuelve la ecuación característica $$ \det(\mathbb{A} - \lambda \mathbb{I}) = 0 $$. Luego, se verifican estos valores propios para confirmar que $$ \mathbb{A} x = \lambda x $$ para cada vector propio $$ x $$ asociado al valor propio $$ \lambda $$.

Determine los valores propios vectores propios de la matriz dada por

Además, para cada valor propio de verifique que la siguiente igualdad se cumple

Para ello, tome en particular a un vector propio de asociado al valor propio .

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Determine los valores propios vectores propios de la matriz dada por Además, para cada valor propio de verifique que la siguiente igualdad se cumple Para ello, tome en particular a un vector propio de asociado al valor propio .