4. Determine los valores propios \( y \) vectores propios de la matriz \( \mathbb{A} \) dada por \[ \mathbb{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 5\end{array}\right] \] Además, para cada valor propio \( \lambda \) de \( \mathbb{A} \) verifique que la siguiente igualdad se cumple \[ \mathbb{A} x=\lambda x \] Para ello, tome en particular a un vector propio \( x \) de \( \mathbb{A} \) asociado al valor propio \( \lambda \).

Para resolver este problema, primero calculamos los valores propios de la matriz \( \mathbb{A} \). Esto se hace mediante la resolución de la ecuación característica \( \det(\mathbb{A} - \lambda \mathbb{I}) = 0 \), donde \( \mathbb{I} \) es la matriz identidad. La matriz \( \mathbb{A} \) es: \[ \mathbb{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 5\end{array}\right] \] Para encontrar los valores propios, calculamos el determinante de \( \mathbb{A} - \lambda \mathbb{I} \): \[ \mathbb{A} - \lambda \mathbb{I} = \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & -1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 4 & -4 & 5-\lambda\end{array}\right] \] El determinante de esta matriz es: \[ \det(\mathbb{A} - \lambda \mathbb{I}) = (1-\lambda)\left[(-\lambda)(5-\lambda) - 4\right] - 2\left[1(5-\lambda) - 4\right] + (-1)\left[1(-\lambda) - 4\right] \] \[ = (1-\lambda)(-\lambda^2 + 5\lambda - 4) - 2(5-\lambda - 4) + (-1)(-\lambda - 4) \] \[ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 9\lambda + 4 + 2\lambda - 2 + \lambda + 4 \] \[ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 \] Para encontrar los valores propios, resolvemos la ecuación: \[ -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 6\lambda + 6 = 0 \] Podemos factorizar esta ecuación para encontrar los valores propios. Primero, intentamos encontrar un valor propio trivial, como \( \lambda = 1 \): \[ -1^3 + 6 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 6 = 0 \] \[ -1 + 6 - 6 + 6 = 0 \] \[ 5 = 0 \] Esto no es cierto, por lo que \( \lambda = 1 \) no es un valor propio. Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, \( \lambda = 2 \): \[ -2^3 + 6 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + 6 = 0 \] \[ -8 + 24 - 12 + 6 = 0 \] \[ 10 = 0 \] Esto no es cierto, por lo que \( \lambda = 2 \) no es un valor propio. Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, \( \lambda = 3 \): \[ -3^3 + 6 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 + 6 = 0 \] \[ -27 + 54 - 18 + 6 = 0 \] \[ 15 = 0 \] Esto no es cierto, por lo que \( \lambda = 3 \) no es un valor propio. Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, \( \lambda = 4 \): \[ -4^3 + 6 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 + 6 = 0 \] \[ -64 + 96 - 24 + 6 = 0 \] \[ 14 = 0 \] Esto no es cierto, por lo que \( \lambda = 4 \) no es un valor propio. Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, \( \lambda = 5 \): \[ -5^3 + 6 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 6 = 0 \] \[ -125 + 150 - 30 + 6 = 0 \] \[ 1 = 0 \] Esto no es cierto, por lo que \( \lambda = 5 \) no es un valor propio. Intentamos encontrar otro valor propio, por ejemplo, \( \lambda = 6 \): \[ -6^3 + 6 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 6 = 0 \] \[ -216 + 216 - 36 + 6 = 0 \] \[ -24 = 0 \] Esto no es cierto