Question
\( y=\sinh (x) \)
Ask by Daniel Gordon. in China
Jan 23,2025
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Answer
双曲正弦函数 \( y = \sinh(x) \) 的定义是：
\[ y = \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
**特点和性质：**
1. **图像**：函数图像关于原点对称，当 \( x \) 很大时，\( \sinh(x) \) 会变得非常大，当 \( x \) 很小时，\( \sinh(x) \) 会变得非常小。
2. **性质**：
- **奇函数**：\( \sinh(-x) = -\sinh(x) \)。
- **导数**：\( \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) \)。
- **积分**：\( \int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C \)。
**应用**：双曲正弦函数在工程、物理和数学中有很多应用，比如描述双曲线的性质、解决微分方程以及在相对论中描述时空关系。
**计算示例**：
计算 \( \sinh(1) \)：
\[
\sinh(1) = \frac{e^{1} - e^{-1}}{2} \approx \frac{2.71828 - 0.36788}{2} \approx 1.1752
\]
希望这些信息能帮助你更好地理解双曲正弦函数！
Solution
双曲正弦函数定义如下：
\[ y = \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
**解释与性质：**
1. **定义：**
双曲正弦函数是双曲函数的一种，类似于普通三角函数中的正弦函数，但它基于指数函数定义。
2. **图像特征：**
- 函数图像关于原点对称。
- 当 \( x \) 趋向于正无穷大时，\( \sinh(x) \) 也趋向于正无穷大；当 \( x \) 趋向于负无穷大时，\( \sinh(x) \) 也趋向于负无穷大。
- 在 \( x = 0 \) 处，\( \sinh(0) = 0 \)。
3. **性质：**
- **奇函数**：满足 \( \sinh(-x) = -\sinh(x) \)。
- **导数**：\( \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) \)，其中 \( \cosh(x) \) 是双曲余弦函数。
- **积分**：\( \int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C \)。
4. **应用：**
双曲正弦函数广泛应用于工程学、物理学以及数学中的各种领域，例如描述双曲线的几何性质、解决某些微分方程以及在相对论中描述时空关系等。
**示例计算：**
计算 \( \sinh(1) \)：
\[
\sinh(1) = \frac{e^{1} - e^{-1}}{2} \approx \frac{2.71828 - 0.36788}{2} \approx 1.1752
\]
希望这些信息对你理解双曲正弦函数有所帮助！
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Did you know that the hyperbolic sine function, \( \sinh(x) \), actually describes the shape of a hanging cable or chain? This real-world phenomenon is known as a catenary! It’s fascinating how these mathematical functions connect to real-life structures and can be observed in architecture and engineering, making them not just theoretical concepts but also practical tools. When working with \( y=\sinh(x) \), one common mistake is confusing it with the regular sine function. Remember, hyperbolic functions have a unique set of properties and identities, such as \( \sinh(-x) = -\sinh(x) \), which makes them odd functions. So, double-check your signs when graphing to keep your curve in shape!
